hyperplan

montrer que tout hyperplan de Mn(IR) contient une matrice inversible

bon moi j'ai reflechis a l'absurde ,
on suppose qu'il existe H (hyperplan ) de Mn(IR)
tel que Gln(IR) * H = { }
*=signifie intersection / désole pour les notations ,l'essentiel c'est dire l'essentiel

Sinchy a écrit:

montrer que tout hyperplan de Mn(IR) contient une matrice inversible

bon moi j'ai reflechis a l'absurde ,
on suppose qu'il existe H (hyperplan ) de Mn(IR)
tel que Gln(IR) * H = { }
*=signifie intersection / désole pour les notations ,l'essentiel c'est dire l'essentiel

BJR Sinchy !!!
Exo tout à fait académique pour les Spés !! Un peu dur mais à connaitre impérativement !!
En gros :
1) Tout hyperplan de Mn(IR) est le noyau d'une Forme Linéaire non nulle élément de Mn(IR)* ( Espace dual ) ;
2) L'application H: A ---->H(A)
ou H(A) : M---------------> H(A)=Tr(A.M)
est un isomorphisme entre Mn(IR) et son Dual .
Tr est l'opérateur TRACE .
3) Il te reste donc à chercher une matrice M inversible telle que Tr(A.M)=0
pour régler ton Pb !!!!
Tu pourras aller ICI :
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-143506.html
et suivre ce Topic ou il y a un impressionnant échange d'idées de haute facture sur ce sujet .
A+ LHASSANE

Exo tout à fait académique pour les Spés !! Un peu dur mais à connaitre impérativement !!
-->j'ai pas compris ton message bien ,
je suis tout a fait d'accord avec toi sur (1) , je vais voir le lien
merci beaucoup
si on note f £ (Mn(IR))* , ausii si on montre que qlq M £ Mn
(IR) f(M) £ Sp(M) alors H contient l'espace des matrices a diagonales nulle puis conclure
n'est ce pas Mr ( Bourbaki ) et (les autres )

BSR Sinchy !!!
En disant :
<< Exo tout à fait académique pour les Spés !! Un peu dur mais à connaitre impérativement !! >>
Je voulais dire que c'est un exercice style GRAND CLASSIQUE des Spés , qu'il est un peu dur et qu'il faut savoir le travailler puis le résoudre !!!
A+ LHASSANE

PS: Par contre , je n'ai pas compris ceci :
<< si on note f £ (Mn(IR))* , ausii si on montre que qlq M £ Mn
(IR) f(M) £ Sp(M) alors H contient l'espace des matrices a diagonales nulle puis conclure >>

si on note f £ (Mn(IR))*
montrer qlq M £ Mn(IR) f(M) £ Sp(M)
deduire que H contient l'espace des matrices a diagonales nulle
Donc H contient une matrice inversible ce qui est absurde
car j'ai suppose que H inter Gln(IR) = l'ensemble vide

si non je vais poster la demonstration