A est isomorphe à C^n comme algèbre.

Soit A une C-algèbre commutative de dimension finie n (comme espace vectoriel) sur C. On suppose que A n'a
que 0 comme élément nilpotent. Montrer que A est isomorphe à C^n comme algèbre.

Réponse de R. Choukri

Il s'agit de montrer que toute algèbre complexe de dimension finie sans éléments nilpotents non nuls est isopmorphe à C^n. Une telle algèbre admet un nombre fini d'idéaux maximaux (réguliers), de plus, elle est semisimple (le radical d'une algèbre de dimension finie est nilpotent). On conclut par le théorème des restes chinois et "Gelfand Mazur" ou Frobenius. Je fais remarquer quand même que l'hypothèse de commutativité est superflue car une algèbre complexe de dimension finie sans nilpotents non nuls est nécessairement commutative.

C'est pas casser un oeuf à coups de marteau ?

Il n'a pas une démo accessible sans utiliser de l'algèbre aussi élaborée ?

Oui bien sur !

Voici une démonstration niveau MP*
On cherchera une base (e1,...,en) de A telle que
l'application A ---> C^n qui à x=x1e1+...+xnen associé (x1,...,xn) est un isomorphisme d'algèbre.
1) montrer que pour tout x de A l'opérateur L_x de A défini par:
L_x(y)=xy est diagonalisable.
2) Montrer que tous les L_x sont simultanément diagonalisables dans une base (a1,...,an). et par suite dans cette base L_ei=diag(0,..,ci,...,0) avec ci#0.
3) pour tout i soit ei=ai/ci . Conclure