une equation à resoudre !

resoude dan IR² l'equation
x^y=y^x
et merci d'avance

déjà posté

en passant a ln ,l equation est equivalente a ln(x)/x=ln(y)/y ,
par etude de la fonction f(x)=lnx/x on constate que le seul
couple est (4,2) biensur et (x,x)

et dans IN*xIN* ?

alors ? ?

Sinchy a écrit:

alors ? ?

Bonjour Sinchy

A) Pour une résolution dans N^2, la réponse a été donnée par "FERMAT" : (n,n), (2,4) et (4,2)

B) Pour une résolution dans R+^2, la réponse n'a pas été donnée et est la suivante :
Pour tout x de ]1,e[, il existe un y=g(x) unique de ]e,+oo[ tel que x^y = y^x. Ce y ne peut être exprimé à partir de x avec les fonctions usuelles.

Donc :
pour x = 0 : pas de solution
pour x dans ]0,1] : une seule solution (x,x)
pour x dans ]1,e[ : deux solutions : (x,x) et (x,g(x))
pour x = e : une solution (e,e)
pour x > e : deux solutions (x,x) et (x, g^(-1)(x))


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Patrick

merci , j'ai vu la methode de Fermat , si quelqu'un a autre chose

Sinchy a écrit:

merci , j'ai vu la methode de Fermat , si quelqu'un a autre chose

une autre méthode ? ou une autre réponse ?

methode

Sinchy a écrit:

methode

Soit k=b/a rationnel
a^b=b^a ==> a^(ka)=k^aa^a ==> a^k=ka ==> a^(k-1)=k ==> a=k^(1/(k-1)) ==> max(k, 1/k) entier ==> on prend k entier (l'autre cas est la solution symétrique)

Donc a^(k-1)=k et k entier
Si a=1, k=1 et on a la solution (1,1)
Si a>1 et k=1, on a la solution (a,a)
Si a>1 et k=2, on a a=2, b=4 et la solution (2,4) et donc aussi (4,2)
Si a>1 et k>2, on a a^(k-1)>=2^(k-1)>k et pas de solution

Les seules solutions entières sont donc bien (a,a),(2,4) et (4,2).

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Patrick