exp(A)=Id dans un voisinage de 0

Montrer qu'il existe un voisinage de 0 dans M_n(IR) sur lequel
exp(A) = Id ===> A = 0.

C'est vraiment direct par le théorème d'inversion locale. Faut-il faire sans ?

Oui directe c'est mieux et simple. Comme l'adage qui dit : il ne faut pas un marteau pour casser un oeuf!

abdelbaki.attioui a écrit:

Oui directe c'est mieux et simple. Comme l'adage qui dit : il ne faut pas un marteau pour casser un oeuf!

A moins que ce ne soit un oeuf d'autruche

Ouii bon, c'est vrai que c'était pas la peine d'aller chercher la grosse Bertha (même si en y regardant de près c'est de l'inversion locale déguisée)


exp(A) - I = A * (I + f(A)) avec ||f(A)|| = O(||A||) donc I+f(A)=U est inversible pour ||A|| assez petit et donc A = 0 * U^-1 = 0