exercice de matrice

A;B;C de M_n(C) tels que AB-BA=C et BC=CB
Montrer que pour tout entier naturel p on a
AB^{p+1}=B^{p}(BA+(p+1)C)

Est-ce que C et BA commutent ?

BJR MrSAMIR
Voilà une soluce !!!
Il résulte de vos hypothèses que C commute avec n’importe quelle puissance de B.
Nous n’utiliserons que l’associativité du produit matriciel .
Posons T(A,B;p)=A.(B^(p+1)) pour tout entier naturel p , on a alors :
T(A,B;p)=A.(B.B^p)=(A.B).B^p
=(C+B.A).B^p
=C.B^p+(B.A).B^p
=B^p.(1.C)+B.(A.B^p)
=B^p.(1.C)+(B^1).T(A,B,p-1)
Pour les memes raisons , on peut écrire :
T(A,B,p-1)= B^(p-1).(1.C)+(B^1).T(A,B,p-2)
D’ou
T(A,B;p)= B^p.(2.C)+(B^2).T(A,B,p-2)
Et par récurrence descendante , on aura :
T(A,B;p)= B^p.(k.C)+(B^k).T(A,B,p-k)
Pour tout entier k , 0<=k<=p
Et pour la dernière étape , on obtiendra :
T(A,B;p)= B^p.(p.C)+(B^p).T(A,B,0)
= B^p.(p.C)+(B^p).[A.B]
= B^p.(p.C)+(B^p).[C+B.A]
=B^p.[(p+1).C+B.A]
C’est un peu long , mais mon esprit de rigueur et netteté est +fort que moi !!!!
Amitiés.
LHASSANE