Matrice

Soit M une matrice carrée d'ordre n>0 et à coefficients dans {-1,1}. Montrer que 2^{n-1} divise det(M)

On peut soit procéder par récurrence sur n (l'idée étant de changer petit à petit tous les -1 en 1),
soit être un peu plus astucieux et conclure plus rapidement en procédant comme ceci :
déjà, il est clair que det(M) € Z. Maintenant, on ajoute la première colonne de M à chacune des autres (des "2" apparaissent! ), et on conclut grâce au fait que le déterminant est une forme multilinéaire.