une jolie relation

Demontrer que

une idée intervertion de limite et somme.
sum( 1/(2^nn²)) = sum ( (1/2)^n/n²)= sum (1/n* int_0^1/2;
x^(n-1)dx) =int(o^1/2; sumx^(n-1)/n dx)
=int(o^1/2;(1/x sum(x^n/n)dx
=-int(0^1/2;1/x*ln(1-x)dx
=-int(1/2^1; ln(t)/(1-t)dt 1-x=t
=- int(sum t^n ln(t))dt.....