limite d'une suite géométrique de matrices

Soit A dans M_k(C) telle que la suite (A^n) converge vers B. Montrer qu'il exsite un polynôme P de C[X] tel que P(A)=B

J'ai pas tout à fait fini mais déjà je voudrais bien savoir si je suis sur la bonne voie, Abdelbaki Attioui ?

Quelques faits faciles
- A est trigonalisable
- toutes ses vp sont de modules <= 1 (sinon pas de converge possible)
- comme P(Q^-1 * A * Q) = Q^-1 * P(A) * Q on peut se ramener à A trigonale supérieure

Une lemme (Il suffit d'écrire la formule) :
a_i des complexes différents |a_i| <= 1
Les polynomes interpolateurs de Lagrange des a_i^n ont des coefficients bornés.

On suppose que A a toutes ses vp, l_i, différentes.

Euclide : X^n = Q*P_A + R_n
où P_A est le polynome caractéristique de A et R_n tq d°(R_n) < d°(P_A)

On a donc A^n = R_n(A) d'après Cayley-Hamilton

R_n prend les valeurs l_i^n en l_i donc, d'après le lemme, est de coeff bornés (et de d° borné) : on peut donc en entraire une sous-suite convergente vers P dans R_k[X].

Par limite on a bien P(A) = B.


Reste à traiter le cas où les vp ne sont pas toutes disctinctes.
Mais déjà est-ce que ça colle jusque là ????

Voici une indication :
B est le projecteur d’image Ker(A − I_k) et de noyau Im(A − I_k).

Je me trompe ou y a plus simple ?

{P(A) / P polynôme} est un espace de dimension finie, donc il est fermé .

lolo

c'est vrai que cet ensemble est l'mage de l'application linéaire

f: IR[X] -----> M_k(IR)
P -----------> P(A)

f est de rang fini