jolie !

x,y,z > 0 , montrer que :
x/( x + rac[(x+y)(x+z)] ) + y/( y + rac[(y+z)(y+x)] ) + z/( z + rac[(z+x)(z+y)] ) =< 1

adam a écrit:

x,y,z > 0 , montrer que :
x/( x + rac[(x+y)(x+z)] ) + y/( y + rac[(y+z)(y+x)] ) + z/( z + rac[(z+x)(z+y)] ) =< 1

Salut
posons A(x,y,z)=x/(x+rac[(x+y)(x+z)])
on a A(x,y,z)=x[rac(x²+xy+xz+yz)-x]/(xy+xz+yz)
et on a rac [(x+y)(x+z)] inf à (x+y+x+z)/2=x+[(y+z)/2]
alors *A(x,y,z) inf (xy+xz)/[2(xy+yz+zx)]
de meme
*A(y,z,x) inf à (yx+yz)/[2(xy+yz+zx)]
*A(z,x,y) inf à (zx+zy)/[2(xy+zy+zx)]

alors en sommant ( ) on trouve
S=A(x,y,z)+A(y,z,x)+A(z,y,x) inf à 1

seulement que je l'ai résolu d'une autre méthode :
d'après Caushy-Shwarz : rac[(x+y)(x+z)] >= rac(xy) + rac(xz)
de meme on trouve : rac[(x+y)(z+y)] >= rac(xy) + rac(yz)
et encore rac[(x+z)(y+z)] >= rac(zx) + rac(yz)
ce qui donne : S =< x/(x+rac(xy)+rac(xz)) + y/(y+rac(yz)+rac(xy)) + z/(z+rac(zx)+rac(zy)) = 1

!

adam a écrit:

seulement que je l'ai résolu d'une autre méthode :
d'après Caushy-Shwarz : rac[(x+y)(x+z)] >= rac(xy) + rac(xz)
de meme on trouve : rac[(x+y)(z+y)] >= rac(xy) + rac(yz)
et encore rac[(x+z)(y+z)] >= rac(zx) + rac(yz)
ce qui donne : S =< x/(x+rac(xy)+rac(xz)) + y/(y+rac(yz)+rac(xy)) + z/(z+rac(zx)+rac(zy)) = 1

comment detaille un peu svp

Conan a écrit:

adam a écrit:

seulement que je l'ai résolu d'une autre méthode :
d'après Caushy-Shwarz : rac[(x+y)(x+z)] >= rac(xy) + rac(xz)
de meme on trouve : rac[(x+y)(z+y)] >= rac(xy) + rac(yz)
et encore rac[(x+z)(y+z)] >= rac(zx) + rac(yz)
ce qui donne : S =< x/(x+rac(xy)+rac(xz)) + y/(y+rac(yz)+rac(xy)) + z/(z+rac(zx)+rac(zy)) = 1

comment detaille un peu svp

caushy shwarz : [rac(xy) + rac(xz)]² =< [rac(x)² + rac(y)²][rac(x)²+rac(z)²] = (x+y)(x+z)
et : x/(x+rac(xy)+rac(xz)) = rac(x)² / {rac(x) [rac(x)+rac(y)+rac(z)] } = rac(x)/[rac(x)+rac(y)+rac(z)]
la meme chose pour les autres, et en sommant ça donne directement 1