inegalité de ma propre création

sois : x,y >0

montrer que : (x^3 * y²) / [(x+y)² (2x^3 + y^3)] =< 1/12

* ==> fois ???

adam a écrit:

* ==> fois ???

bien sur

merci !

l'inégalité à prouver équivaut à :
12y²x^3 =< 2x^5 + x²y^3 + 2y²x^3 + y^5 + 4yx^4 + 2xy^4
c.à.d : 2x^3(y²-x²) + y²(x^3-y^3) + x²y²(x-y) + 4x^3y(y-x) + 2xy²(x²-y²) =< 0
équivaut à ( après développement ) : (x - y)(y^4 + 4x²y² + 3xy^3 - 2x^4 - 6yx^3 ) =< 0
x et y jouent un role syméthrique donc on peut supposer que x < y
d'où il ns reste à prouver que :T = y^4 + 4x²y² + 3xy^3 - 2x^4 - 6yx^3 >= 0 ce qui est vrai car :
T = (y^4 - x^4) + (x²y² - x^4) + 3xy(xy-x²+y²-x²)
et y^4 > x^4 et x²y² > x^4 et y² > x² et xy > x² (d'après la supposition x < y)
d'où le résultat !
c'est quoi cette inégalite Mr conan ??!!

je pense qu'il a fait beaucoup de calcule pour creer cette inegalite

adam a écrit:

l'inégalité à prouver équivaut à :
12y²x^3 =< 2x^5 + x²y^3 + 2y²x^3 + y^5 + 4yx^4 + 2xy^4
c.à.d : 2x^3(y²-x²) + y²(x^3-y^3) + x²y²(x-y) + 4x^3y(y-x) + 2xy²(x²-y²) =< 0
équivaut à ( après développement ) : (x - y)(y^4 + 4x²y² + 3xy^3 - 2x^4 - 6yx^3 ) =< 0
x et y jouent un role syméthrique donc on peut supposer que x < y
d'où il ns reste à prouver que :T = y^4 + 4x²y² + 3xy^3 - 2x^4 - 6yx^3 >= 0 ce qui est vrai car :
T = (y^4 - x^4) + (x²y² - x^4) + 3xy(xy-x²+y²-x²)
et y^4 > x^4 et x²y² > x^4 et y² > x² et xy > x² (d'après la supposition x < y)
d'où le résultat !


c'est quoi cette inégalite Mr conan ??!!

nn il n'ya pas de symetrie dans cet inegalité Adam

en effet il n'y a pas de symetrie des roles mais on peut remedier a ca par une disjonction des cas . le premier cas adam l'a fait et le second on suppose le contraire et ca donne le mm resultat.

bravo BestFriend , et pour 2x^3 + y^3 >= 3x²y
c equivalent a x^3 + y^3 +x^3 >= 3x*y*x

wiles a écrit:

en effet il n'y a pas de symetrie des roles mais on peut remedier a ca par une disjonction des cas . le premier cas adam l'a fait et le second on suppose le contraire et ca donne le mm resultat.

oui c'est ça, dsl ya pas de symétrie