inégalité

Soient a, b et c des réels strictement positifs. Prouver que :
(1/a+1/b+1/c)*(1/ (1+a)+1/ (1+b) +1/ (1+c))>=9/ (1+abc).
Quand on peut avoir l’égalité ?

est-ce-qu'elle demande des connaissances particulieres ?(Jensen;edrois-mordel..)

non,des calcules seulement,tu peux utiliser des théorèmes si tu veux,tous les chemins mène à rome,l'important c'est la solution!!

je préfere les calculs sans téorémes

et t'a trouvé quelque chose pour l'instant?

rien jusqu'à mnt, j'arrête et je laisse pour cette nuit

slt

1/a + 1/b +1/c>=3/((abc)^1/3)
1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)>=3/((a+1)(b+1)(c+1)^1/3)
on a
abc(1+a)(1+b)(1+c)<=(1+abc)^3
<=>(1+a)(1+b)(1+c)<=(1+abc)^3/abc
<=>1/((a+1)(b+1)(c+1))>=abc/(1+abc)^3
on deduit que
(1/a + 1/b +1/c)(1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1))>=9((abc^1/3)/((abc^1/3)(abc+1))=9/(abc+1)

stof065 a écrit:

slt

1/a + 1/b +1/c>=3/((abc)^1/3)
1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)>=3/((a+1)(b+1)(c+1)^1/3)
on a
abc(1+a)(1+b)(1+c)<=(1+abc)^3
<=>(1+a)(1+b)(1+c)<=(1+abc)^3/abc
<=>1/((a+1)+1/(b+1)+1/(c+1))>=abc/(1+abc)^3
on deduit que
(1/a + 1/b +1/c)(1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1))>=9((abc^1/3)/((abc^1/3)(abc+1))=9/(abc+1)

tu es sur?

une faute de frappe

cas d égalité a=b=c=1

slt stof
est-ce-que tu peut m'expliquer cette liqne:
abc(1+a)(1+b)(1+c)<=(1+abc)^3
apparament c la clef de l"exo.

c'est ce que j'avais posté comme inégalité à prouver ( nouveau sujet ) mais , c faut , car ya un contre exemple !! on attend la solution du posteur !!

adam a écrit:

c'est ce que j'avais posté comme inégalité à prouver ( nouveau sujet ) mais , c faut , car ya un contre exemple !! on attend la solution du posteur !!

Montre Ns Le contre exemple si c possible:| .

si on prend b = 2 et c = 1/2 et a = 1 on aura d'après l'inégalité :
8 >= 9 ce qui est faux, ce contre exemple n'est pas valable pour l'inégalité originale de boukharfane radouane !!

OUI TU as tout a fé raison alors la solution de stof et fausse:pale:

biensur !!

salut
on a
1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)>=3/(1+abc^1/3)
en plus
1/a +1/b +1/c>=3/abc^1/3
alors il suffit de prouver que
1/(abc^1/3*(1+abc^1/3)>=1/(1+abc)
donc
1+abc>abc^1/3+abc^2/3 (supposant que abc^1/3=x)
1+x^3>=x+x^2
(1+x)(x^2+1-x)>=x(x+1)
donc
x^2+1-2x>=0
(x-1)^2>=0
j'espere que ce juste
ma demo est just pour tout a.b.c>=1
parceque cet etape 1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)>=3/(1+abc^1/3)
est juste a condition que a.b.c>=1

ali 20/20 a écrit:

j'espere que ce juste

l'inégalité qu'on doit montrer est fausse et tu veux que la réponse soit juste !!!

ali 20/20 a écrit:

salut
on a
1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)>=3/(1+abc^1/3)
en plus
1/a +1/b +1/c>=3/abc^1/3
alors il suffit de prouver que
1/(abc^1/3*(1+abc^1/3)>=1/(1+abc)
donc
1+abc>abc^1/3+abc^2/3 (supposant que abc^1/3=x)
1+x^3>=x+x^2
(1+x)(x^2+1-x)>=x(x+1)
donc
x^2+1-2x>=0
(x^2-1)^2>=0
j'espere que ce juste

prend le cas a=1/2.b=1/4.c=1

otman4u a écrit:

ali 20/20 a écrit:

j'espere que ce juste

l'inégalité qu'on doit montrer est fausse et tu veux que la réponse soit juste !!!

mon reponse est pour a.b.c>1 (cé que redouan a oublié d'ecrire dans l'ennoncé
tu peut remarque que a.b.c>1 l'orsque j'ecrit
1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)>=3/(1+abc^1/3)
ok?

salut

Soient a, b et c des réels strictement positifs. Prouver que :
(1/a+1/b+1/c)*(1/ (1+a)+1/ (1+b) +1/ (1+c))>=9/ (1+abc).

on c ke klk soit a, b et c des réels strictement positifs on a
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)>= 9 pr la prouver c tres simple
1/1+abc >0
donc

(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)/ (1+abc) >= 9/ (1+abc).

mnt il suffit de prouver ke

(a+b+c)/ (1+abc) >=(1/ (1+a)+1/ (1+b) +1/ (1+c)

Int-Girl a écrit:

salut

Soient a, b et c des réels strictement positifs. Prouver que :
(1/a+1/b+1/c)*(1/ (1+a)+1/ (1+b) +1/ (1+c))>=9/ (1+abc).

on c ke klk soit a, b et c des réels strictement positifs on a
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)>= 9 pr la prouver c tres simple
1/1+abc >0
donc

(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)/ (1+abc) >= 9/ (1+abc).

mnt il suffit de prouver ke

(a+b+c)/ (1+abc) >=(1/ (1+a)+1/ (1+b) +1/ (1+c)

c'est tres bien ce que tu fait mais il y'a un contr exemple
c'est pour il fayt prendre a.b.c>1

Int-Girl a écrit:

salut

Soient a, b et c des réels strictement positifs. Prouver que :
(1/a+1/b+1/c)*(1/ (1+a)+1/ (1+b) +1/ (1+c))>=9/ (1+abc).

on c ke klk soit a, b et c des réels strictement positifs on a
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)>= 9 pr la prouver c tres simple
1/1+abc >0
donc

(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)/ (1+abc) >= 9/ (1+abc).

mnt il suffit de prouver ke

(a+b+c)/ (1+abc) >=(1/ (1+a)+1/ (1+b) +1/ (1+c)

wakha d'expliquer mieux cette etape
liktebti est juste si a et b et c sont >=1 seulement
mais l'exercice a et b et c sont positive

c'est pour il fayt prendre a.b.c>1

nn nn pas forcemnt voila prend a=b=1 e c = 1/2 ds ce cas abc<1

e aussi ca respecte linegalite donc ya pa de faute ds le premier texte