Salut tout le monde, je vois que cette inégalité a bien suscité votre curiosité et cela m'égaye énormément, bon je vous propose
Cette démarche et j'attend votre remarques.
on a:
(*)1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)=(1/a)/1+1/a)+(1/b)/(1+1/b)+(1/c)/(1/c)
(*)>=3*rac(3)(1/abc)/((1+1/a)(1+1/b)(1+1/c))) (IAG)
=3/rac(3)(abc)*1/(rac(3)(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c))
d'autre part on a:
3+1/a+1/b+1/c>=3rac(3)(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c))
<=>1/(rac(3)(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c))>=1/(3+1/a+1/b+1/c)
D’où :
(*)>=3/rac(3)(abc)* 1/(3+1/a+1/b+1/c) (***)
Donc (*)*(1/a+1/b+1/c)>=>= 9/rac(3)(abc)*1/(3/((1/a)+1/b+1/c))+1) (on multiple le coté gauche de (***) par (1/a+1/b+1/c) puis on divise le coté droit de (***) par (1/a+1/b+1/c))
Et on a encore 1/a+1/b+1/c>=3rac(3)(1/abc)
Donc il suffit de montrer que 9/rac(3)(abc)*(rac(3)(abc)+1)>=9/(abc+9)
On a (1+x^3)-x(x+1)=(x-1)(x²-1)=(x-1)²(x+1)>=0 pour tout x>0.donc on posons x=rac(3)(abc)
On arrive au résultat voulu.
Nota bene : rac(3)(x) et le racine cubique de x.
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