Minorer et Majorer ..

Slt
minorer et majorer (si c'est possible )
sachant que: a,b,c des reéls >0

slt
posant S ce qui est a gauche
S(c+2rac(ab)+a+2rac(cb)+b+2rac(ac))>=(rac(a)+rac(b)+rac(c))²
(c-s)
on a c+2rac(ab)+a+2rac(cb)+b+2rac(ac)=(rac(a)+rac(b)+rac(c))²
on deduit que S>=1

stof065 a écrit:

slt
posant S ce qui est a gauche
S(c+2rac(ab)+a+2rac(cb)+b+2rac(ac))>=(rac(a)+rac(b)+rac(c))²
(c-s)
on a c+2rac(ab)+a+2rac(cb)+b+2rac(ac)=(rac(a)+rac(b)+rac(c))²
on deduit que S>=1

bienvu stoff et pour le majorant ( )

Autre méthode :
c+2rac(ab) =< a+b+c
a+2rac(bc) =< a+b+c
b+2rac(ac) =< a+b+c
d'où S >= 1
^_^

selfrespect a écrit:

stof065 a écrit:

slt
posant S ce qui est a gauche
S(c+2rac(ab)+a+2rac(cb)+b+2rac(ac))>=(rac(a)+rac(b)+rac(c))²
(c-s)
on a c+2rac(ab)+a+2rac(cb)+b+2rac(ac)=(rac(a)+rac(b)+rac(c))²
on deduit que S>=1

bienvu stoff et pour le majorant ( )

3 ???

neutrino a écrit:

selfrespect a écrit:

stof065 a écrit:

slt
posant S ce qui est a gauche
S(c+2rac(ab)+a+2rac(cb)+b+2rac(ac))>=(rac(a)+rac(b)+rac(c))²
(c-s)
on a c+2rac(ab)+a+2rac(cb)+b+2rac(ac)=(rac(a)+rac(b)+rac(c))²
on deduit que S>=1

bienvu stoff et pour le majorant ( )

3 ???

je ne crois pas , (determiner la valeur de a,b,c pour laquelle 3 est atteinte )

on a : c/(c+2r(ab)) = 1 - 2r(ab)/[c+2r(ab)] =< 1 - 2r(ab)/(a+b+c)
de meme pr les autres, ce qui donne :
S =< 3 - 2[r(ab)+r(ac)+r(bc)]/(a+b+c) = 4 - [r(a)+r(b)+r(c)]²/(a+b+c) =< 3

adam a écrit:

on a : c/(c+2r(ab)) = 1 - 2r(ab)/[c+2r(ab)] =< 1 - 2r(ab)/(a+b+c)
de meme pr les autres, ce qui donne :
S =< 3 - 2[r(ab)+r(ac)+r(bc)]/(a+b+c) = 4 - [r(a)+r(b)+r(c)]²/(a+b+c) =< 3

on peut arriver a ce resultat (sens strict) on remarquant seulemnt
c+2rac(ab)>c ....
ce qui rend linegalité precedente au sens strict (3 nest jamais atteinte )et la question mnt est ce que 3 est le plus ptit reel qui majore S ?

BJR à Toutes et Tous !!
Je prends le Train en Marche !!
3 est atteint pour a=b=c=1 ?????
A+ LHASSANE

pour a=b=c S a une valeur fixe 1 et elle ne peut jamais atteindre 3 (inegalité au sens strict)

Excuse , je me suis planté !!!!
A+

peut tu ns donner des indications selfrespect??????

travaillez ac les fonctions

c/(c+2r(ab)) =< c/[c + 4ab/(a+b)] = (ac+bc)/(ac+bc+4ab)
la meme chose pour les autres
or : ac+bc+4ab >= ac+bc+ab , de meme pour les autres ..
ce qui donne : S =< 2
mais pas de valeurs pr le moment !!!!

adam a écrit:

c/(c+r(ab)) =< c/[c + 4ab/(a+b)] = (ac+bc)/(ac+bc+4ab)
la meme chose pour les autres
or : ac+bc+4ab >= ac+bc+ab , de meme pour les autres ..
ce qui donne : S =< 2
mais pas de valeurs pr le moment !!!!

elle aussi n'est pas atteinte !! ( t'as negligé 3ab est c'est pour cela que t'as perdu plus d'infos )

oé, je sais
il faut d'abord savoir la valeur maximale puis essayer de résoudre l'inégalité

tu dois ajouter une autre chose selfrespect , comme abc=1 etc........
, je pense qu'on pe pas trouver un nombre comme maximum

ben , S admet une borne superiere 3 non atteinte (lS-3l<2(sqrt(xy)+sqrt(xz)+sqrt(yz)))
prenez xy,xz,yz suffisemment petits et vous allez conclure
(c'est clair que cette inegalité ne sert a rien )

S admet une borne supérieure 2 ausi !!

adam a écrit:

c/(c+r(ab)) =< c/[c + 4ab/(a+b)] = (ac+bc)/(ac+bc+4ab)
la meme chose pour les autres
or : ac+bc+4ab >= ac+bc+ab , de meme pour les autres ..
ce qui donne : S =< 2
mais pas de valeurs pr le moment !!!!

cette inegalité n'est verifiée que si 4rac(ab)=<a+b !!
ce qui n'est pas juste pour a=b !

mais c pas ce que g fé
g fé ça : r(ab) >= 2/(1/a + 1/b) <==> 2r(ab) + c >= c + 4ab/(a+b) ==> c/[ 2r(ab) + c ] =< c/[ c + 4ab/(a+b) ] = (ac+bc)/[ ac+bc+4ab]
tu voies ?

r(ab) >= 2/(1/a + 1/b)
faux!! prend a=b=1/2

t'es sûr ? a+b >= 2r(ab) donc : (a+b)*r(ab) >= 2ab
enfin : r(ab) >= 2ab/(a+b) d'où le résultat !!
ça arrive !!

ahhh
j ai pas vu la 2/(1/a+1/b)
dsl

Bonjour ;
Je crois que adam à raison :
la quantité f(a,b,c) = c/(c+2Vab) + a/(a+2Vbc) + b/(b+2Vca) est bien majorée par 2
adam a utilisé le fait que la moyenne géométrique G de deux réels positifs x et y est supérieure ou égale
à leur moyenne harmonique H c'est à dire Vxy >= 2/(1/x+1/y)
de ce fait il obtient
c/(c+2Vab) =< c(a+b)/(c(a+b)+4ab)
a/(a+2Vbc) =< a(b+c)/(a(b+c)+4bc)
b/(b+2Vca) =< b(c+a)/(b(c+a)+4ca)
et en remarquant que les trois dénominateurs sont supérieures à ab+bc+ca il conclut que
f(a,b,c) =< [c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)]/(ab+bc+ca] = 2
2 n'est pas atteinte car cela nécessiterait
4ab=ab , 4bc=bc et 4ca=ca c'est à dire a=b=c=0 ce qui est exclu
finalement en fixant (par exemple) a et b et en faisant tendre c vers 0
on voit bien que la quantité f(a,b,c) tend vers 2
Conclusion : S=2 et elle n'est pas atteinte (sauf erreur)