welcome in my ferst participation

Soient a, b, c et d quatre réels strictement positifs

Montrer que a/b+c + b/c+d + c/d+a + d/a+b >=2

abdellatif a écrit:

Soient a, b, c et d quatre réels strictement positifs

Montrer que a/b+c + b/c+d + c/d+a + d/a+b >=2

Si tu es sur Mon ami ?

peut etre a :b, cet d sont des nombres de N*

bien sur mon ami Omar

je suis sur

a, b, c et d quatre réels strictement positifs

on attend stof pour cette jolie inegalite

ssllllt
on a
a/(b+c)=(a(a+d))/(b+c)(a+d)>=4a(a+d)/(a+b+c+d)²
pour les autre o6
on deduit que
posant S ce qui est a gauche
S>=[4(a(a+d)+b(a+b)+c((c+b)+d(d+c)]/(a+b+c+d)²
<=>S>=[4(a²+ad+b²+ab+c²+bc+d²+dc]/(a+b+c+d)²
<=>S>=[2((a+d)²+(a+b)²+(b+c)²+(d+c)²)]/(a+b+c+d)²
on a
(a+d)²+(a+b)²+(b+c)²+(d+c)²
>=(2a+2b+2c+2d)²/4=(a+b+c+d)²
on deduit que
S>=2(a+b+c+d)²/(a+b+c+d)²=2 (sans theoreme)

wiles a écrit:

abdellatif a écrit:

je suis sur

moi je ne suis pas du tt sur
prend par exemple a=2000 b=c=d=1
il y a surement des conditions sur a b c et d

c toujours réalisé

si on prend :a=2000 b=c=d=1
seulement : a/b+c=1000>2 je suis tout sur mon ami
[/img]

aller les mathematiciens je vous attend

oui c est tout a fait juste

a/b+c + b/c+d + c/d+a + d/a+b >=1/4(a+b+c+d)(1/b+c + 1/c+d + 1/d+a + 1/a+b) >=1/4(a+b+c+d)(16/2(a+b+c+d) >= 1/2

abdellatif a écrit:

Soient a, b, c et d quatre réels strictement positifs

Montrer que a/b+c + b/c+d + c/d+a + d/a+b >=2

a/b+c + c/d+a=(a^2 +c^2+ad+bc)/(b+c)(d+a)
on xy=<(x+y)^2/4 donc on prend x=b+c et y=a+d
alors (b+c)(a+d)=<(b+c +d+a)^2 <=> 1/(b+c)(a+d)>= 1/(b+c +a+d)^2
<=> a^2+c^2+ad+bc/(b+c)(a+d)>=4*(a^2+c^2+ad+bc)/(b+c +a+d)^2 (A)

et (B) b^2+d^2+ab+cd/(c+d)(a+b)>=4*(b^2+d^2+ab+cd)/(b+c+a+d)^2


donc A+B>= 4*(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ad+cd)/(a+b+c+d)^2

alors pour demontrer que A+B>=2 il suffit de demonter que

2*a^2+b^2+c^2+d^2+(a+c)(d+b)/((a+c)+(b+d))^2>=1