anneau ..

soit A un anneau , soient x,y,deux elemnt de A , supposant 1-xy inversible montrer que 1-yx est inversible aussi !

hum hum c'est quand même la grosse astuce cet exo... Il suffit de trouver le bon élément

je trouve :

1+y(1-xy)^(-1)x

pelikano a écrit:

hum hum c'est quand même la grosse astuce cet exo... Il suffit de trouver le bon élément

je trouve :

1+y(1-xy)^(-1)x

exactement c'est la cle d'or de cet exo mais est ce que tu peux expliquer comment t'as eu lidée de faire un tel choix !
merçi

c'est assez difficile d'expliquer cela à l'écran. Je vais essayer d'être clair :

Bon moi je pars de 1 lol c'est ce qu'on veut on au final
Ensuite, 1= quoi ? ben il faut faire apparaître ce que l'on veut à savoir 1-yx donc j'écris :

1= (1-yx) + yx

Bon début maintenant je veux au final (1-yx) * quelquechose donc il va falloir factoriser la dernière expression. J'en déduis donc que je cherche un nombre b tel que :

yx = (1-yx)*b

et il faut résoudre en quelque sorte cette équation sans utiliser l'opérateur de multiplication... pas simple a priori
Et la, on se dit mais je n'ai pas encore utiliser l'hypothèse de départ à savoir que 1-xy est inversible. Si on suppose cela, c'est qu'il est fortement probable que dans l'expression du b que je recherche désespérement, il y aura mon inverse, je le note a pour simplifier les écritures. Je traduis donc mon hypothèse :

a*(1-xy)=(1-xy)*a=1 <=> axy=xya=a-1

Bon, bon, bon yx = (1-yx)*b ca n'a pas l'air de m'avancer
Alors, il faut dans ce cas forcer la nature des choses... Je veux du a dans mon expression de b et utiliser l'expression que j'ai sur a.
On développe pour mieux voir :
b = yx +yxb
Le b de gauche est tout seul. c'est parfait. A droite
j'ai du xb et je voudrais du xya... bon essayons b=ya
on a :
ya = yx +y(xya) = yx + y(a-1) ce qui donne yx=y...
Bon ce n'est pas ca mais on sent qu'on s'en approche

Bon, on va tenter un nouveau b. Si on met quelquechose à gauche, on voit que c'est débile car on casse alors ce que l'on voulait faire savoir faire appparaître du xya
Essayons donc à droite avec un autre nombre c
On pose b=yac
on obtient :
yac = yx + y(a-1)c
ou encore :
yx=yc

Hourra ! on ne demande pas de résoudre cette équation (on ne sait pas si y est inversible) mais juste de trouver une solution particulière...
Il y en a une qui saute aux yeux... c=x!!!!!!!!!!!

Bon la, on se gratte la tête, on sent qu'on est chaud bouillant pour le résultat. On reprend :
on a posé : c=x et b=yac donc b=yax
Voila voila on revient à notre premirère expression soit :
1= 1-yx +yx = 1-yx + (1-yx)b = (1-yx)(1+yax)

C'est bon !! on le tient
toute cette partie c'était notre brouillon
On écrit alors tout joyeux de notre découverte :

"Soit A un anneau avec x et y deux élements quelconques. Supposons que 1-xy soit inversible. Il existe donc un élément a de A tel que : (1-xy)a = a(1-xy) = 1

Posons alors (comme par magie!!!!) : u=1+yax
On a :
(1-yx)u=...=1 !!!!!!!!!!
u(1-yx)=....=1 !!!!!!!!!

On en déduis que 1-yx est inversible d'inverse 1+y(1-xy)^(-1)x"

pelikano a écrit:

c'est assez difficile d'expliquer cela à l'écran. Je vais essayer d'être clair :

Bon moi je pars de 1 lol c'est ce qu'on veut on au final
Ensuite, 1= quoi ? ben il faut faire apparaître ce que l'on veut à savoir 1-yx donc j'écris :

1= (1-yx) + yx

Bon début maintenant je veux au final (1-yx) * quelquechose donc il va falloir factoriser la dernière expression. J'en déduis donc que je cherche un nombre b tel que :

yx = (1-yx)*b

et il faut résoudre en quelque sorte cette équation sans utiliser l'opérateur de multiplication... pas simple a priori
Et la, on se dit mais je n'ai pas encore utiliser l'hypothèse de départ à savoir que 1-xy est inversible. Si on suppose cela, c'est qu'il est fortement probable que dans l'expression du b que je recherche désespérement, il y aura mon inverse, je le note a pour simplifier les écritures. Je traduis donc mon hypothèse :

a*(1-xy)=(1-xy)*a=1 <=> axy=xya=a-1

Bon, bon, bon yx = (1-yx)*b ca n'a pas l'air de m'avancer
Alors, il faut dans ce cas forcer la nature des choses... Je veux du a dans mon expression de b et utiliser l'expression que j'ai sur a.
On développe pour mieux voir :
b = yx +yxb
Le b de gauche est tout seul. c'est parfait. A droite
j'ai du xb et je voudrais du xya... bon essayons b=ya
on a :
ya = yx +y(xya) = yx + y(a-1) ce qui donne yx=y...
Bon ce n'est pas ca mais on sent qu'on s'en approche

Bon, on va tenter un nouveau b. Si on met quelquechose à gauche, on voit que c'est débile car on casse alors ce que l'on voulait faire savoir faire appparaître du xya
Essayons donc à droite avec un autre nombre c
On pose b=yac
on obtient :
yac = yx + y(a-1)c
ou encore :
yx=yc

Hourra ! on ne demande pas de résoudre cette équation (on ne sait pas si y est inversible) mais juste de trouver une solution particulière...
Il y en a une qui saute aux yeux... c=x!!!!!!!!!!!

Bon la, on se gratte la tête, on sent qu'on est chaud bouillant pour le résultat. On reprend :
on a posé : c=x et b=yac donc b=yax
Voila voila on revient à notre premirère expression soit :
1= 1-yx +yx = 1-yx + (1-yx)b = (1-yx)(1+yax)

C'est bon !! on le tient
toute cette partie c'était notre brouillon
On écrit alors tout joyeux de notre découverte :

"Soit A un anneau avec x et y deux élements quelconques. Supposons que 1-xy soit inversible. Il existe donc un élément a de A tel que : (1-xy)a = a(1-xy) = 1

Posons alors (comme par magie!!!!) : u=1+yax
On a :
(1-yx)u=...=1 !!!!!!!!!!
u(1-yx)=....=1 !!!!!!!!!

On en déduis que 1-yx est inversible d'inverse 1+y(1-xy)^(-1)x"

lol sous ce point de vue vous pouvez supposer yx nilpotent
==> (1-yx)^-1=1+yx+(yx)²+..+(yx)^{n-1}=1+yx+(yx)²+...+(yx)^n , (yx)^n=0 nilpotent !!) et que (yx)^k=y(xy)^{k-1}y
==> (1-yx)^-1=1+y(1+xy+(xy)²+...+(xy)^{n-1})x=1+y(1-xy)^{-1}x=a
ben maintenant tentons notre chance et calculons (1-yx)a et a(1-yx) sans supposer (yx) nilpotent !!

En effet, lol