simple inegalites

slt
(2x^2+y^2+z^2)>2(xy+yz+xz)
3(x²+y²+z²)>(x+y+z)2

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)
nous savons certe x^2+y^2+z^2>xy+xz+yz
donc
x²+y²+z²>= (x+y+z)²/3

ok

voici la (2)
x^3+y^3+z^3=x^3+y^3-(x+y)^3
=(x+y)(-3xy) et nous savons que x+y=-z
donc x^3+y^3+z^3=3xyz

saad007 a écrit:

salut je vous propose ces deux exo!!!!

soit x,y et z de R
demontrer que
x²+y²+z²>= (x+y+z)²/3


soit x,yet z de R tel que x+y+z=0
demontrer que x^3+y^3+z^3=3xyz

take care

pour la premiere , une application directe de jensen ( f:x->x² convex)

pour la deuxieme on a :

x^3+y^3+z^3 -3xyz=1/2 (x+y+z) [(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²] d'ou le resultat

une application directe de jensen tu peu expliquer plus mr detective conan

ali 20/20 a écrit:

une application directe de jensen tu peu expliquer plus mr detective conan

la fonction x-> x² est convex donc selon jensen :

x²+y²+z² >= 3*[(x+y+z)/3]² = (x+y+z)²/3

thanks

salut

x^3+y^3+z^3 =(x+y)(x²-xy+y²) -(x+y)^3= (x+y)(x²-xy+y² -x²-2xy-y²)=3xyz

soit x,y et z de R
demontrer que
x²+y²+z²>= (x+y+z)²/3

solution:
on sait que 2( x²+y²+z²)>= 2(xy+yz+zx)
donc 2( x²+y²+z²)+ x²+y²+z²>= 2(xy+yz+zx)+x²+y²+z²

pour la deuxième c'est trés facile
d'aprés IAG ça sera facile x^3+y^3+z^3 >= 3((xyz)^3)^(1/3)=3xyz

pour le premier
x²+y²+z²>=1/3(x²+y²+z²)+2/3(xy+yz+zx)
======>x²+y²+z²>=xy+yz+zx
ce qui est vrai !! car
x²+y²>=2xy
y²+z²>=2yz
z²+x²>=2zx
on somme et on deduit que x²+y²+z²>=xy+yz+zx
et merci

on a (x+y+z)²/3=(x²+y²+z²+2(xy+yz+xz))/3
il nous suffit dc de montrer que: xy+yz+x<=x²+y²+z²

on a: x²+y²>=2xy
y²+z² >=2yz
x²+z²>=2xz
on en déduit alors que: 2( x²+y²+z²)>=2(xy+yz+xz)
ce entraîne que : xy+yz+xz<=x²+y²+z².
d'où le résultat!!!!!!!!!!![/b]

La deuxième n'a besoin ni de théorèmes ni de méthodes farfelues:
x+y+z = 0 <=> x+y = -z
<=> (x+y)^3=-z^3
<=> x^3+3x²y+3xy²+y^3=-z^3
<=> x^3+y^3+z^3=-3xy(x+y)
<=> x^3+y^3+z^3=3xyz
A propos, je l'ai résolue en tronc commun, elle est dans le manuel, première leçon, dernière page.