Nombre de messages : 68 Date d'inscription : 19/06/2007
Sujet: une autre Mer 01 Aoû 2007, 22:56
a,b,c>=0 tel que a+b+c=3. montrer que; a²/(a+b²)+b²/(b+c²)+c²/(c+a²)>=3/2
stof065 Expert sup
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Sujet: Re: une autre Jeu 02 Aoû 2007, 15:47
ssslllllttt on a a²/(a+b²)=(a²+ab²)/(a+b²)-ab²/(a+b²)=a(a+b²)/(a+b²) -ab²/(a+b²)=a- ab²/(a+b²) pour les autres o6 a²/(a+b²)+b²/(b+c²)+c²/(c+a²)=a+b+c-(ab²/(a+b²) +bc²/(b+c²) + ca²/(c+a²))=3-(ab²/(a+b²) +bc²/(b+c²) + ca²/(c+a²)) on a a+b²>=2rac(a).b<=>ab²/(a+b²)<=(rac(a).b)/2<=((a+1)/2)b)/2=(ab+b)/4 pour les autre o6 on deduit que (ab²/(a+b²) +bc²/(b+c²) + ca²/(c+a²))<=(ab+bc+ac+a+b+c)/4=(ab+bc+ac+3)/4<=(1/3(a+b+c)²+3)/4=3/2 d ou a²/(a+b²)+b²/(b+c²)+c²/(c+a²)>=3- 3/2=3/2 a+
radouane_BNE Modérateur
Nombre de messages : 1488 Localisation : Montréal Date d'inscription : 11/01/2006
Sujet: Re: une autre Jeu 02 Aoû 2007, 16:03
merci Khadija-daria pour cette belle inégalité. voici une autre méthode.(celle de stof065 plus belle que moi) d'après Cauchy-Schwartz on a: (a²(a+b²)+b²(b+c²)+c²(c+a²))*(a²/(a+b²)+b²/(b+c²)+c²/(c+a²)) >=(a²+b²+c²)² <=>a²/(a+b²)+b²/(b+c²)+c²/(c+a²)>= ((a^4+b^4+c^4+2a²b²+2b²c²+2c²a²)/(a^3+b^3+c^3+a²b²+b²c²+c²a²) il suffit donc de montrer que: 2a^4+2b^4+2c^4-3a^3-3b^3-3c^3+a²b²+b²c²+c²a²>=0 d'après MA-MG: a²b²+b²c²+c²a²>=a²bc+b²ca+c²ab il suffit encore de montrer que 2a^4+2b^4+2c^4-3a^3-3b^3-3c^3+a²bc+b²ca+c²ab>=0 <=> a²(a-b)(a-c)+b²(b-a)(b-c)+c²(c-a)(c-b)>=0 (sans oublier que a+b+c=3) la dérnière proposition est vraie graçe à Schur. d'où la réponse.
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