une autre

Féru Nombre de messages : 68 Date d'inscription : 19/06/2007

a,b,c>=0 tel que a+b+c=3.
montrer que;
a²/(a+b²)+b²/(b+c²)+c²/(c+a²)>=3/2

Expert sup Nombre de messages : 540 Age : 33 Date d'inscription : 01/02/2007

ssslllllttt
on a
a²/(a+b²)=(a²+ab²)/(a+b²)-ab²/(a+b²)=a(a+b²)/(a+b²) -ab²/(a+b²)=a- ab²/(a+b²)
pour les autres o6
a²/(a+b²)+b²/(b+c²)+c²/(c+a²)=a+b+c-(ab²/(a+b²) +bc²/(b+c²) + ca²/(c+a²))=3-(ab²/(a+b²) +bc²/(b+c²) + ca²/(c+a²))
on a
a+b²>=2rac(a).b<=>ab²/(a+b²)<=(rac(a).b)/2<=((a+1)/2)b)/2=(ab+b)/4
pour les autre o6
on deduit que
(ab²/(a+b²) +bc²/(b+c²) + ca²/(c+a²))<=(ab+bc+ac+a+b+c)/4=(ab+bc+ac+3)/4<=(1/3(a+b+c)²+3)/4=3/2
d ou
a²/(a+b²)+b²/(b+c²)+c²/(c+a²)>=3- 3/2=3/2
a+

merci Khadija-daria pour cette belle inégalité.
voici une autre méthode.(celle de stof065 plus belle que moi)
d'après Cauchy-Schwartz on a:
(a²(a+b²)+b²(b+c²)+c²(c+a²))*(a²/(a+b²)+b²/(b+c²)+c²/(c+a²))
>=(a²+b²+c²)²
<=>a²/(a+b²)+b²/(b+c²)+c²/(c+a²)>=
((a^4+b^4+c^4+2a²b²+2b²c²+2c²a²)/(a^3+b^3+c^3+a²b²+b²c²+c²a²)
il suffit donc de montrer que:
2a^4+2b^4+2c^4-3a^3-3b^3-3c^3+a²b²+b²c²+c²a²>=0
d'après MA-MG:
a²b²+b²c²+c²a²>=a²bc+b²ca+c²ab
il suffit encore de montrer que
2a^4+2b^4+2c^4-3a^3-3b^3-3c^3+a²bc+b²ca+c²ab>=0
<=> a²(a-b)(a-c)+b²(b-a)(b-c)+c²(c-a)(c-b)>=0
(sans oublier que a+b+c=3)
la dérnière proposition est vraie graçe à Schur.
d'où la réponse.