trouver les fonctions....

trouver toutes les fonctions f de Q dans Q telles que :
f(x+y)+f(x-y) = 2(f(x)+f(y)+1)

Posons g(x)=f(x)+1 alors l'équation fonctionnelle devient:
g(x+y)+g(x-y)=2g(x)+2g(y)
(J'ai dèjà resolu cette équation fonctionnelle dans le forum )
g(x)=g(1)x^2
Et on en deduit pour tout x dans Q:
f(x)=(f(1)+1)x^2-1.

oui c est bien ça la solution, est ce que tu peux juste mettre le lien de ta solution ici, comme ça les autres membres du forum peuvent en profiter?

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)
1) x=y=0 donne f(0)=0
2) x=0 donne f(y)=f(-y) donc f est paire
3) On montre par reccurence que f(nx)=n^2f(x)
pour n=0 et n=1 c'est trivial
Supposons que pour k<=n on a f(kx)=k^2f(x) alors
f((n+1)x)=f(nx+x)=2f(nx)+2f(x)-f(nx-x)=(2n^2-2-(n-1)^2)f(x)=(n+1)^2f(x) reccurence achevée
4)f(x)=f(n(x/n))=n^2f(x/n) donc f(x/n)=1/n^2f(x) & f(1/n)=1/n^2f(1)
5)f(p/n)=p^2f(1/n)=(p/n)^2f(1)
Et Puisque f est paire nous avons pour tout x dans Q f(x)=f(1)x^2