ITALY2007 : trouver les fonctions...

trouver toutes les fonctions f telles que : pour tous x et y de R, on a :
f(xy+f(x)) = xf(y)+f(x)

Même methode
Montrer que f est injective

https://mathsmaroc.jeun.fr/Olympiades-c2/Equations-fonctionnelles-f10/une-fonction-equationnelle-t4121.htm?highlight=

pas nécessairement, la fonction f(x) = x est une solution évidente de cette équation fonctionnelle !

Je n'ai jamais dit que c'est le même exo mais ce que je dit c'est la même methode.
1)On montre facilement que f est injective.
2)f(0)=0
3)f(f(x))=f(x) ==> f(x)=x puisque f est injective

kaderov a écrit:

Je n'ai jamais dit que c'est le même exo mais ce que je dit c'est la même methode.
1)On montre facilement que f est injective.
2)f(0)=0
3)f(f(x))=f(x) ==> f(x)=x puisque f est injective

la fonction nulle est une solution aussi !

Effectivement
f(f(x))=f(x)==> f(x)=x ou f(x)=0

comment tu démontres que f(f(x)) = f(x) ?

bel_jad5 a écrit:

kaderov a écrit:

Je n'ai jamais dit que c'est le même exo mais ce que je dit c'est la même methode.
1)On montre facilement que f est injective.
2)f(0)=0
3)f(f(x))=f(x) ==> f(x)=x puisque f est injective

la fonction nulle est une solution aussi !

Je vois que tu as mis en rouge l'injectivité c'est donc une invitation à la montrer:
Sup f(x)=f(y) differents de 0
f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)=(x+1)f(x)
f(xy+f(x))=f(yx+f(y))=yf(x)+f(y)=(y+1)f(x)
D'ou l'injectivité

bel_jad5 a écrit:

comment tu démontres que f(f(x)) = f(x) ?

f est injective.
x=y=0==>f(f(0))=f(0)==>f(0)=0
y=0==>f(f(x))=f(x)

Dsl mais la on est pas sur la même longueur d'onde.
la fonction f n est pas injective dans tous les cas puisque la fonction nulle est une solution.

Je te conseille vivement de poster ta solution en entier.

bel_jad5 a écrit:

Dsl mais la on est pas sur la même longueur d'onde.
la fonction f n est pas injective dans tous les cas puisque la fonction nulle est une solution.

Je te conseille vivement de poster ta solution en entier.

Effectivement nous ne sommes pas sur la même longueur d'onde!!!
Il faut toujours commencer par f=0 est une solution triviale.
Supposons que f(x) est une solution non nulle.

j'ai essaye de procede comme l'a signaler mr kaderov mais bon voila
bon, pour l'injectivité, on suppose f(x)=f(x')=c alors f(xy+c)=xf(y)+c= f(x'*xy/x' + c) = x'f(x/x' *y)+c donc pour tout y, pour l=x/x', on a f(ly)=lf(y).
Donc f(lx')=f(x)=lf(x') d'où l=1 et x=x'.
Bin ensuite, : pour x=y=0, f(0)=0, et pour tout x et y=0,
f(f(x)=xf(0)+f(x)=f(x) d'où pour tout x, f(x)=x

je crois que c'est ce que veut dire mr kaderov en tt cas le truc de l'injectivite est valable dans ce genre de situation

saad007 a écrit:

j'ai essaye de procede comme l'a signaler mr kaderov mais bon voila
bon, pour l'injectivité, on suppose f(x)=f(x')=c alors f(xy+c)=xf(y)+c= f(x'*xy/x' + c) = x'f(x/x' *y)+c donc pour tout y, pour l=x/x', on a f(ly)=lf(y).
Donc f(lx')=f(x)=lf(x') d'où l=1 et x=x'. (ya sûrement plus simple mais comme ça marche, pas cherché autrement)

Bin ensuite, : pour x=y=0, f(0)=0, et pour tout x et y=0,
f(f(x)=xf(0)+f(x)=f(x) d'où pour tout x, f(x)=x

je crois que c'est ce que veut dire mr kaderov en tt cas le truc de l'injectivite est valable dans ce genre de situation

le problème dans ce que tu dis, c'est que tu trouves pas toutes les solutions, donc il y a une étape incorrecte dans ton raisonnement !
relis bien ta démonstration.

bel_jad5 a écrit:

saad007 a écrit:

j'ai essaye de procede comme l'a signaler mr kaderov mais bon voila
bon, pour l'injectivité, on suppose f(x)=f(x')=c alors f(xy+c)=xf(y)+c= f(x'*xy/x' + c) = x'f(x/x' *y)+c donc pour tout y, pour l=x/x', on a f(ly)=lf(y).
Donc f(lx')=f(x)=lf(x') d'où l=1 et x=x'. (ya sûrement plus simple mais comme ça marche, pas cherché autrement)

Bin ensuite, : pour x=y=0, f(0)=0, et pour tout x et y=0,
f(f(x)=xf(0)+f(x)=f(x) d'où pour tout x, f(x)=x

je crois que c'est ce que veut dire mr kaderov en tt cas le truc de l'injectivite est valable dans ce genre de situation

le problème dans ce que tu dis, c'est que tu trouves pas toutes les solutions, donc il y a une étape incorrecte dans ton raisonnement !
relis bien ta démonstration.

ah bon il y en a d'autres solutions bon en tt cas je vais voir

oui, il y'a la fonction nulle que t'as pas mentionnée !

voila ma solution : on pose f(0) = a
pour y = 0 , on trouve que f(f(y)) = ax+f(x)
donc f(f(xy+f(x)) = f(xf(y)+f(x))
a(xy+f(x))+f(xy+f(x)) = xff(y))+f(x)
axy+af(x)+xf(y)+f(x) = x(ay+f(y))+f(x)
d ou af(x) = 0 or pour x = 0 -> a² = 0 donc a =0.
ainsi f(f(x)) = f(x) pour tout x de R.
soient a et b telle que f(a) = f(b)
en procédant de la même façon que celle mentionnée par Kaderov et saad2007 on trouve que : (a-b)f(a) = 0
donc si f(a)#0 alors a=b
donc si f(x)#0 et comme f(f(x)) =f(x) alors f(x) = x.
donc en chaque point de R f(x) = x ou f(x) = 0
soit y un point tel que f(y) = 0 et y # 0.
f(xy+f(x)) = f(x)
si on suppose qu'il existe x tel que f(x) #0 alors xy+f(x) = x
or comme f(x) = x -> xy=0 d ou x =0 ou y =0 contradiction.
donc si f s'annulle en un point y#0 alors f est complétement nulle.
sinon f ne s'annulle q'en 0 et dans les autres points, on f(x) = x
et par suite f(x) = x sur R

conclusion il y a deux solutions : la fonction nulle, et la fonction
f(x) =x

oui effectivement la preuve pour l'injectivité ne marche que si
f(x)=f(x')=c est différent de 0.
ce qui fait que notre probleme est regle

merci pour le joli exo

bel_jad5 a écrit:

oui, il y'a la fonction nulle que t'as pas mentionnée !

bon puisque ma reponce etait incomplete car elle ne donnait pas tts les resultats j'ai du la revoir et j'ai trouve le probleme c'etait au moment ou je voulais demontrer l'injectivite mnt voila comment il faut procede

supposons que f(a)=f(b) =c
!!!!! pour x=a et y=b on a f(ab+c)=ac+c
!!!!!!!pour x=b et y=a on a f(ab+c)=bc+c

donc ac+c=bc+c ce qui mene a la conclusion suivante
c(a-b)=0 et c'est la que residait le probleme dans ma premiere demo

donc c=0 ou a=b
apres qu'on traite les deux cas on aura
c=0 ==> f(x)=0
a=b ==>f(x)=x
voila j'espere que c'est regle
j'attend vos remarques
merci d'avance

voici une solution plus elegante sans montrer l injectivité
x=0 ==> f(f(0))=f(0)
x=f(0) et y=0 ==> f(f(f(0)))=f(0)²+f(0) ==> f(0)=f(0)²+f(0)
dou f(0)=0
y=0 ==> f(f(x))=f(x)
on remplace ds l equation y par f(x):
f(xf(x)+f(x))=xf(f(x))+f(x) <==> f(xf(x)+f(x))=(x+1)f(x) (1)[/i]
on remplace mnt y par x et x par f(x):
f(f(x)x+f(f(x)))=f(x)²+f(f(x)) <==> f(xf(x)+f(x))=f(x)(f(x)+1) [i](2)
de (1) et (2) : (x+1)f(x)=f(x)(f(x)+1) <==> (x-f(x))f(x)=0
donc prr chaque x: f(x)=0 ou x
supposons il existe a#0 et b#0 tel que f(a)=a et f(b)=0
alors dapré la premiere equation f(ab+f(a))=af(b)+f(a)
dou f(ab+a)=a absurde
les seul solution sont donc f(x)=x ou f(x)=0