trouver f

trouver toutes les f définies sur IR telles que :
f(x)f(1-x)=f(ax+b)

c koi a et b ??

f(x)=0
f(x)=1
jai dautres remarques ex si f tabatouni donc a=0 et f(1-b)=1

adam a écrit:

c koi a et b ??

des réels

il est facile de trouver que : f(ax+b) = f(a+b-ax)
_dans le cas où a # 0 on a tt les x de R ont la mm image, donc, f(x) = cte ==> c(c-1) = 0 donc f(x) = 0 ou f(x) = 1
_mnt si a = 0 alors f(x)f(1-x) = f(b) ==> f(x) = c' = { 0 ou 1 }
donc en tt les cas on a f(x) = 0 ou f(x) = 1

ce n 'est pas une solution convaincante

callo a écrit:

trouver toutes les f définies sur IR telles que :
f(x)f(1-x)=f(ax+b)

Je n'ai pas de solution générale, mais il est clair que 0 et 1 ne sont pas les seules solutions.

Exemple 1 : pour a=2 et b différent de -1/2, on a la solution Coo :

f(x)=2sin((pi/2)(x+b)/(2b+1))

Exemple 2 : pour a=1 et b non nul, on peut construire des solutions continues de la façon suivante :
Soit h(x) > 0 définie sur [1/2, b+1/2] et telle que h(b+1/2)=h(1/2)^2

On peut alors définir f ainsi :
f périodique de période 6b
f définie sur [1/2, 6b + 1/2[ ainsi :
Sur [1/2, b+1/2[ : f(x) = h(x)
Sur [b+1/2, 2b+1/2[ : f(x)=h(2b+1-x)
Sur [2b+1/2, 3b+1/2[ : f(x)=h(3b+1-x)/h(x-2b)
Sur [3b+1/2, 6b+1/2[ : f(x)=1/f(x-3b)


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Patrick