CONVEXITE' ET RECIPROQUE |

Salut ,
*montrer que tt fct convexe sur R et majorée est constante ()

on va montrer ce joli problème par l'absurde.
si f n'est pas constante alors il existe (m,n) £ IR+* tel que m<n et f(m)#f(n).
le premier cas: si f(n)>f(m)
prenons un x £ IR tel que x>n>m avec m et n sont des valeurs fixées.
f est convexe,cela se traduit par:
(f(n)-f(m))/(n-m)=<(f(x)-f(m))/(x-m)=<(f(x)-f(m))/(x-m)
=>0<(f(n)-f(m))/(n-m)=<f(x)/(x(1-m/x))-f(m)/(x(1-m/x))
en faisant tendre x vers +infini,i vient:
lim(x->infini)f(x)/x>=(f(n)-f(m))/(n-m)>0
donc (il existe x(0)>0)(pour tout x>x(0))f(x)>(f(n)-f(m)/(n-m)*x
=>lim(x->infini)f(x)=+infin.contradiction avec f est majorée.
le deuxième cas.si f(n)<f(m)
dans l'autre cas le travail est analogue.(on prend x<m<n et en utilise le fait que f est convexe puis on fait tendre x vers -infini et on obtient à la fin le mème résultat précedent)

joli radouane mais tu aurais reduit la demon on remarquant que (tu as utilusé l ancienne version de cette idée lol!

)
f nn constante <==> il existe c tel que f'(c)#0
Smile

a+

c'est une idée plus élegante que la mienne.peut tu continuer ta démarche selrespect,

f nn consatnt ==> il existe c tel que f'(c)#0.
♦si f'(c)>0
on considere la fct h(x)=(f(x)-f(c))/(x-c) croissante !!(f est convexe')
et h(x)-->0 qd x-->+00
alors dun certaint rang on aura
qq soit epsiln >0: 0<f'(c)<h(x)<epsilon
alors qq soit epsilon : 0<f'(c)<epsilon
alors f'(c)=0 d'ou la contradiction
on fait la mm chose our le cas f'(c)<0 et on considere la fct x-->-(f(x)-f(c))/(x-c)<f'(c)<0
==> -epsilon <f'(c)<0...

BSR Selfrespect , Redouane & Tous de la Communauté !!!
Il y a un qqquechose qui me dérange dans ta Démo Selfrespect , c'est que , à ma connaissance :
Si f est convexe alors en tout point intérieur à son domaine de définition elle admet des 1/2 dérivées à droite et à gauche seulement avec f'g(xo) <=f'd(xo) etc .....
Pourquoi ne pas utiliser le fait que le graphe d'une fonction convexe est située toujours AU DESSUS de sa tangente en ses points ??
Idée à creuser donc !!!! A+

Salut
desolé jai oublié de signaler que h est definie seuelement sur [c,+00[ (biensur pour le cas f'(c)>0 )
et pour votre idée je crois qu elle realisable , au fait si on suppose lexistence dun reel c tel que f'(c)#0
on peut voirque f(x)>f'(c)x+f(c)
dou on touve la contradiction f nn majoré (si f'(c)>0 alors f-->+00 (qd x-->+00) , sinon f-->+00 (si f'(c)<0) en tendant x->-00)
Bravo Mr Oeil de lynx , et mnt est ce vous pouvez me localiser ou se trouve la faille dans la demo precedente !.

BSR Selfrespect !!
Il ne s'agit pas d'une faille !!!
Je disais seulement qu'une fonction convexe n'est pas toujours dérivable en un point MAIS admet en ce point des demi-tangentes à droite et à gauche ( Comme pour f(x)=|x| en 0 ) .
C'est tout mais si tu supposes déjà que ta fonction convexe est DERIVABLE en tout point alors là le Pb est réglé !!
A+

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