soit f(a,b,c)=2(a+b+c)-abc et t=rac ((b^2+c^2)/2) et a=min (a,b,c)
on a : f(a,b,c)-f(a,t,t)=2(b+c-2t)-a(bc-t^2) puisque b+c-2t<=0et bc-t^2<=0 si a<=0 on obtient f(a,b,c)-f(a,t,t)<=0 et on prouve que f(a,t,t)<=10
soit f(a,t,t)=2a+2rac(2(9-a^2))-1/2a(9-a^2) tel que -3<=a<=0la derivé egale 0 equivaut à a=-1et f(a,t,t) croissante dans [-3,-1] et decroissante dans l'autre interval et atteint un maximun =10d'où f(a,b,c)<= f(a,t,t)<=10
si a>=0 alors bet c sont positifs on distingue deux cas :
si a>=3/4 alors f(a,b,c)=2(a+b+c)-abc <=2rac(3(a^2+b^2+c^2))-(3/4)^3=2rac(27)-27/64<10.
si a<=3/4 alors f(a,b,c)=2(a+b+c)-abc <=2(rac(2(b^2+c^2))+3/4)<=2(rac(18)+3/4)<10 .
on analisons on trouve que l'egalité a eu lieu si a=b=2 et c=-1
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