belle

soient a,b,c de R^3+ demontrer que
a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b) >= 3(a^3+b^3+c^3)/2(a²+b²+c²)

salut kalm voici ma solution
en verifient la simetrie de role
posant(a>b>c) alors 1/b+c>1/a+c)>1/a+b
donc en utilisant chebchev on trouve que
a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b) >=3(a^2+b^2+c^2)(1/a+b +1/a+c +1/b+c)donc
et on a ( 1/(a+b) +1/(b+c) +1/(a+c) )(2(a+b+c) >=9
alors s>=27(a^2+b^2+c^2)/2(a+b+c)
alors il faut prouver que
27(a^2+b^2+c^2)/2(a+b+c)>= 3(a^3+b^3+c^3)/2(a²+b²+c²)
alors on a 9(a^2+b^2+c^2)^2/(a+b+c)>=(a+b+c)^3et (a+b+c)^3>=a^3+b^3+c^3
alors on conclure que s>=3(a^3+b^3+c^3)/2(a²+b²+c²)
j'espere que c juste

ali 20/20 a écrit:

salut kalm voici ma solution
en verifient la simetrie de role
posant(a>b>c) alors 1/b+c>1/a+c)>1/a+b
donc en utilisant chebchev on trouve que
a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b) >=3(a^2+b^2+c^2)(1/a+b +1/a+c +1/b+c)donc
et on a ( 1/(a+b) +1/(b+c) +1/(a+c) )(2(a+b+c) >=9
alors s>=27(a^2+b^2+c^2)/2(a+b+c)
alors il faut prouver que
27(a^2+b^2+c^2)/2(a+b+c)>= 3(a^3+b^3+c^3)/2(a²+b²+c²)
alors on a 9(a^2+b^2+c^2)^2/(a+b+c)>=(a+b+c)^3et (a+b+c)^3>=a^3+b^3+c^3
alors on conclure que s>=3(a^3+b^3+c^3)/2(a²+b²+c²)
j'espere que c juste

tchebychev c'est en fait ca:
3(a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b)) >=(a^2+b^2+c^2)(1/a+b +1/a+c +1/b+c)

ah oui mais quand mm voila la solution
a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b) >=1/3(a^2+b^2+c^2)(1/a+b +1/a+c +1/b+c)
et 1/(a+b)+1/b+c +1/ a+c>= 9/2(a+b+c)
alors il faut prouver que (a^2+b^2+c^2)/a+b+c>=a^3+b^3+c^3/(a^2+b^2+c^2)
donc (a^2+b^2+c^2)^2>=a^3+b^3+c^3 *(a+b+c) alors on a (cauchy )

(a^2+b^2+c^2)^2>=1/9(a+b+c)^4
alors l'inégalité devienne
(a+b+c)^3>=9(a^3+b^3+c^3) alors on conclure

mon ami ali 20/20,jusque le fait d'arrivé à réduire notre travail à montrer que
(a^2+b^2+c^2)^2>=a^3+b^3+c^3 *(a+b+c) c'est bien ,mais le problème c'est comment on acheve la démonstration!et comment on conclut que
(a^2+b^2+c^2)^2>=1/9(a+b+c)^4(comment tu as fait ce passage)?

a^2+b^2+c^2>=1/3(a+b+c)^2 (cauchy)

oui et aprés comment tu as arrivé à (a+b+c)^3>=9(a^3+b^3+c^3).ali j'espere que tu fait attention au calcule.

boukharfane radouane a écrit:

oui et aprés comment tu as arrivé à (a+b+c)^3>=9(a^3+b^3+c^3).ali j'espere que tu fait attention au calcule.

ceçi est fausse (jensson c plutot =<)

l'inegaliré n'est pas quelque chose aussi facile

oui mahmoud16 mais voila la solution
avec chauy-shwartz on a
∑a²/(b+c)∑a²(b+c)>=(a²+b²+c²)²
donc il s'agit de montrer que 2(a²+b²+c²)^3>=3∑a²(b+c)∑a^3
2∑a^6+3∑a²b²(a²+b²)+12a²b²c²>=3∑ab(a^4+b^4)+3∑a²b^3c
et c'est tres facile de la demontrer

tu peux mieu expliquer
que veux tu dire par ∑????????

∑a²b^3c=a²b^3c+a²bc^3+ab²c^3+ab^3c²+a^3b²c+a^3bc²

∑ab(a^4+b^4)=ab(a^4+b^4)+ac(a^4+c^4)+bc(b^4+c^4)

Il Y avait Une Autre Plus Directe

tt simplement
a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b) =
a^3/ (ab+ac) + b^3/(ab+cb)+c^3/(ac+bc) >=
1/3(a^3+b^3+c^3)(1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc) et on a
(1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc))((ab+ac)+(ab+bc)+(ac+bc))>=9 ( apres cauchez)
donc (1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc)>=9/(2ab+bc+ac)
donc a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b)>1/3(a^3+b^3+c^3)(1/3(a^3+b^3+c^3)=3(a^3+b^3+c^3)/(2ab+2bc+2ac)>
3(a^3+b^3+c^3)/(2(a²+b²+c²)

mohamed_01_01 a écrit:

tt simplement
a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b) =
a^3/ (ab+ac) + b^3/(ab+cb)+c^3/(ac+bc) >=
1/3(a^3+b^3+c^3)(1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc) et on a
(1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc))((ab+ac)+(ab+bc)+(ac+bc))>=9 ( apres cauchez)
donc (1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc)>=9/(2ab+bc+ac)
donc a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b)>1/3(a^3+b^3+c^3)(1/3(a^3+b^3+c^3)=3(a^3+b^3+c^3)/(2ab+2bc+2ac)>
3(a^3+b^3+c^3)/(2(a²+b²+c²)

Salut
L'application De chebychev ne vérifie Pas Les conditions!Alors Pour que tu sois sûr écris Les Condition d'abord et Après applique le théorème.
a+

qel condition

[quote="Alaoui.Omar"]

mohamed_01_01 a écrit:

tt simplement
a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b) =
a^3/ (ab+ac) + b^3/(ab+cb)+c^3/(ac+bc) >=
1/3(a^3+b^3+c^3)(1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc) et on a
(1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc))((ab+ac)+(ab+bc)+(ac+bc))>=9 ( apres cauchez)
donc (1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc)>=9/(2ab+bc+ac)
donc a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b)>1/3(a^3+b^3+c^3)(1/3(a^3+b^3+c^3)=3(a^3+b^3+c^3)/(2ab+2bc+2ac)>
3(a^3+b^3+c^3)/(2(a²+b²+c²)

On suppose que a>=b>=c alors:
a^3>=b^3>=c^3 et 1/ (ab+ac) >= 1/(ab+cb)>=1/(ac+bc) ce qui est Pas trivial Dans ce cas .
a+

[quote="Alaoui.Omar"]

Alaoui.Omar a écrit:

mohamed_01_01 a écrit:

tt simplement
a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b) =
a^3/ (ab+ac) + b^3/(ab+cb)+c^3/(ac+bc) >=
1/3(a^3+b^3+c^3)(1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc) et on a
(1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc))((ab+ac)+(ab+bc)+(ac+bc))>=9 ( apres cauchez)
donc (1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc)>=9/(2ab+bc+ac)
donc a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b)>1/3(a^3+b^3+c^3)(1/3(a^3+b^3+c^3)=3(a^3+b^3+c^3)/(2ab+2bc+2ac)>
3(a^3+b^3+c^3)/(2(a²+b²+c²)

On suppose que a>=b>=c alors:
a^3>=b^3>=c^3 et 1/ (ab+ac) >= 1/(ab+cb)>=1/(ac+bc) ce qui est Pas trivial Dans ce cas .
a+

je comprnd pas ce que tu veux dire
on a pr tt a,b,c>0 ddonc ad+be+cf>1/3(a+b+c)(d+e+f) et c'est cele ce que j'ai aplique

[quote="mohamed_01_01"]

Alaoui.Omar a écrit:

Alaoui.Omar a écrit:

mohamed_01_01 a écrit:

tt simplement
a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b) =
a^3/ (ab+ac) + b^3/(ab+cb)+c^3/(ac+bc) >=
1/3(a^3+b^3+c^3)(1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc) et on a
(1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc))((ab+ac)+(ab+bc)+(ac+bc))>=9 ( apres cauchez)
donc (1/ (ab+ac) + 1/(ab+cb)+1/(ac+bc)>=9/(2ab+bc+ac)
donc a²/ (b+c) + b²/(a+c)+c²/(a+b)>1/3(a^3+b^3+c^3)(1/3(a^3+b^3+c^3)=3(a^3+b^3+c^3)/(2ab+2bc+2ac)>
3(a^3+b^3+c^3)/(2(a²+b²+c²)

On suppose que a>=b>=c alors:
a^3>=b^3>=c^3 et 1/ (ab+ac) >= 1/(ab+cb)>=1/(ac+bc) ce qui est Pas trivial Dans ce cas .
a+

je comprnd pas ce que tu veux dire
on a pr tt a,b,c>0 ddonc ad+be+cf>1/3(a+b+c)(d+e+f) et c'est cele ce que j'ai aplique

Re,
C'est quelle relations celle ! you are wrong man! Revise la relations de chebychev Dans le Cours Des inégalité -Forum formule et théoreme- . ben Pour étre Plus réel je te donne un Contre exemple:

a=1 b=1 c=4 et d=4 e=1 f=1 :4+1+4>=1/3*6*6 d'ou 9>=12 ce qui est absurd ..
a+

oui je suis fautif et pr a>b>c va te donne
1/ (ab+ac) <= 1/(ab+cb)<=1/(ac+bc)

d'après NESBITT
a²/(b+c) + b²/(a+c) +c²/(a+b)>= (a+b+c)/2 cas n=2 (1)
D'après tchybetchev
(a+b+c)(a²+b²+c²)>=3(a^3+b^3+c^3)
d'ou: (a+b+c)/2>= 3(a^3+b^3+c^3)/2(a²+b²+c²) (2)
D'après (1) et (2)
a²/(b+c) + b²/(a+c) +c²/(a+b)>=3(a^3+b^3+c^3)/2(a²+b²+c²)

codex00 a écrit:

d'après NESBITT
a²/(b+c) + b²/(a+c) +c²/(a+b)>= (a+b+c)/2 cas n=2 (1)
D'après tchybetchev
(a+b+c)(a²+b²+c²)>=3(a^3+b^3+c^3)
d'ou: (a+b+c)/2>= 3(a^3+b^3+c^3)/2(a²+b²+c²) (2)
D'après (1) et (2)
a²/(b+c) + b²/(a+c) +c²/(a+b)>=3(a^3+b^3+c^3)/2(a²+b²+c²)

cé pluto ke contraire prend le contre exemple de stof065