joli polynome

Très très joli !! Et coriace ....

J'aimerais bien savoir d'où viens ce problème Boukharfane Radouane ?

Je n'ai trouvé que 5 tels polynômes :
x
2x²+x
x²+2x
2x³+3x²+x
3x³+2x²+x

Quelques faits clairs :

Déjà toutes les racines sont négatives ou nulles = -r_i.
P(x) = \sum a_i * x^i = a_n x ¶ (x + r_i)

(1) P(1) = 0+1+..+n dans un certain ordre = n(n+1)/2
(2) a_0/a_n = ¶ r_i
(3) a_(n-1)/a_n = \sum r_i


Quelques faits moins clairs :

1) a_0 = 0

D'après AM-GM et (2) et (3) : (a_0/a_n)^(1/(n+1)) <= 1/(n+1) (a_(n-1)/a_n)
Soit a_0 <= a_n 1/(n+1)^(n+1) (a_(n-1)/a_n)^(n+1) <= (n/n+1)^(n+1) < 1
et donc a_0 = 0.


On est donc ramené à \sum_0^{n-1} a_k * x^k avec les a_k = 1,...n

2) P'(x)/P(x) = \sum 1/(x+r_i) classiquement

P'(1) = n*a_n + (n-1)*a_(n-1) + ... + a1
D'après l'inégalité de réarrangement P'(1) >= n + 2*(n-1) + ... + n * 1 = n * n(n+1)/2 - (n*(n-1)/2 -1)

Mais P'(1)/P(1) < n ce qui donne n < 4.



Maintenant ça fait très peu de cas à tester et sauf, erreurs, il n'y a que les 5 polynomes ci-dessus