polynome

hi guys,
I find this exercice really beautiful,what about you?

find all polynomials P such that P(x)²+P(1/x)²=P(x²)*P(1/x²).

en remarquant que en gauche on a un polynome en (x^k+1/x^k) et a droite on a un polynome (x^(2k)+x^(-2k)) on deduit que le produit des coefficients de parité diff sont nuls .. j'ai trouvé que seul le polynome nul convient ( je suis po sur ) mais çela n'a aucun signe de beauté
merçi.

Hum Hum. Il me semble que tu as oublié de mettre les polynôme au carré dans le terme de gauche.

Sinon, on peut le faire en injectant P=sum a_i.x^i pour i =0...n et en développant.
On regarde le terme en x^2n et il vient a_n=a_0
puis on regarde le terme constant et il vient que tout les autres termes sont nuls : sum (a_i²) pour i=1...n-1 = 0
On a donc nécessairement P=a(x^n+1)
On réinjecte pour montrer que a vaut nécessairement zéro (sauf erreur de ma part)
réciproquement le polynôme nul convient.

si on pose p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n donc
P(x)²+P(1/x)²=P(x²)*P(1/x²)x^2n(a_nx^n+...+a_0)²+(a_n+...+a_0x^n)²=(a_nx^2n+...+a_0)(a_n+...+a_0x^2n)
donc : a_0a_n=a_0² et a_n²=a_0a_n et pour les coeifficiens de x^2n on a 2a_0²=a_n²+...+a_0² =>a_0=a_1=...=a_n=0 d'ou p(x)=0
pour selfrespect:daaarha lmchych moul lbtana,kaytrkl mskin ?yak hhh

pelikano a écrit:

hum hum ta pas oublié les carrés dasn le membre de gauche?

les indices k agauche varient dans {0,1...N} mais a droite dans {0...P} p #n. (partie entier..)
a Kalm: mshyesh howa !!

permettez moi selfrespect,pelikano et kalm de tenter ma chance avec cet exo.

on sait si un polynome p²(x) est en x²;alors alors il existe un polynome q tel
que p(x)=g(x²) ou p(x)=xq(x²).

en vertu de lemme on obtient donc,puisque p(x)² vérifie cette condition,p(x)=q(x²) ou p(x)=xq(x²).
si on remplace ds l'équation on obtient:

dans le premeir cas q(x)²+q(1/x)²=q(x²)*q(1/x²) c'est la mème équation vérifié par p
dans le deuxième cas x*q(x)²+1/x*q(1/x)²=q(x²)*q(1/x²) ce qui est impossible car les deux cotés ont pour dégres paire et impaire respictivement.

il reste donc que p(x)=q(x²) et de mème pour q il existe un autre polynome t tel que q(x)=t(x²) ainsi de suite...on prend donc le polynome du plus bas degrés qui est le polynome constant.

par suite p(x)=Cste.

reciproquement p(x)=c ne verifie pas l equation

je crois que la seul sollution est p(x)=0

memath a écrit:

reciproquement p(x)=c ne verifie pas l equation

je crois que la seul sollution est p(x)=0

wach nta b39lk wla mslfou ?!!! warah chnou tangoulou mn sba7 asa7bi

memath a écrit:

reciproquement p(x)=c ne verifie pas l equation

je crois que la seul sollution est p(x)=0

pr radouane : je trouve ton idée genial il me resemble a la descente infinie p etre son utilusation sera plus forte dans le genre d'exo qui demande de montrer linexistence !