- selfrespect a écrit:
- Salut voila un exo similair a celui posé en Immo:
determiner tous les polynomes P verifiants
P(x)P(x+1)=P(x²+x+1)
entrainez vous 
a+
Joli ...
Si un complexe z est racine de P, alors z^2+z+1 est racine de P. Mais, en faisant x=z-1 dans l'équation on a aussi (z-1)^2+(z-1)+1 racine de P.
Donc : z racine de P ==> u(z)=z^2+z+1 et v(z)=z^2-z+1 sont aussi racines de P.
Or, |u(z)|+|v(z)|>=|u(z)-v(z)|=2|z|
Donc, soit |u(z)|=|v(z)|=|z| et z=i ou z=-i
soit max(|u(z)|,|v(z)|)>|z|
Soit alors z différent de i et -i.
Si u(z)=i, z=-1-i, |z|>1, max(|u(z)|,|v(z)|)=|v(z)|>1 et v(z) différent de i et -i
Si u(z)=-i, z=-1+i, |z|>1, max(|u(z)|,|v(z)|)=|v(z)|>1 et v(z) différent de i et -i
Si v(z)=i, z=+1+i, |z|>1, max(|u(z)|,|v(z)|)=|u(z)|>1 et u(z) différent de i et -i
Si v(z)=-i, z=+1-i, |z|>1, max(|u(z)|,|v(z)|)=|u(z)|>1 et u(z) différent de i et -i
Il est donc possible de construire une suite infinie de racines, de modules strictement croissants, et toutes différentes de i et -i.
P aurait alors une infinité de racines, ce qui est impossible.
Les seules racines possibles de P sont donc +i et -i
P est donc nécessairement de la forme (x^2+1)^n
et on vérifie aisément que cette forme fonctionne.
-- Patrick
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, cet exo etait un peu similair a celui posé en immomais il yavait qq nouveau truc , jai fait la mm chose avec qq petites difference...( jai determiné le max des zeros de P )....(mais jai pas prouvé lunicité de cette polynome 