une fonction à trouver !!

trouvez toutes les fonctions f : I ---> I ( I = l'enssemble des réels strictement positifs ) tels que :
pr tout (x,y) £ I² on a : x²( f(x) + f(y) ) = (x+y)f [yf(x)]

posons y=x
x²( f(x) + f(x) ) = (x+x)f [xf(x)]

xf(x)=f(xf(x))

f(t)=t pour t>0

t'es sûr ?????????????
remplaces ce que t'as trouvé dans l'équation pour etre sur que c'est faux !!

oui *.
j'ai oublié de vérifier en+ j'ai pas pris mon temps pr résoudre l'exo

Bonjour adam ;

(*) Ce qu'a fait callo montre clairement que les xf(x) , x>0 sont des points fixes de f .

(*) Si x et y sont des points fixes de f on doit avoir simultanément :
f(yx)=x² et f(xy)=y² ce qui prouve que f admet un point fixe unique a>0 .

(*) En faisant f(x)=a/x dans l'équation fonctionnelle on trouve la C.N.S a=1 . (sauf erreur)

oui, effectivement, f(x) = 1/x , c'est ce que j'ai trouvé moi aussi mais avec cette méthode :
on montre que f est injective :
f(x) = f(y) ==> 2x²f(x) = (x+y)f(yf(y))
==> 2x²f(x) = (x+y)yf(y) car f(xf(x)) = xf(x)
donc 2x² - xy - y² = 0 ==> (x-y)(2x+y) = 0 alors x = y
f(xf(x)) = xf(x) ==> f(1) = 1 en prenant x=1 et en utilisant le fait que f est injective
maintenant dans l'équation :
on prend x=1 , on aura : 1+f(y) = (1+y)f(y) ce qui donne : f(y) = 1/y
d'où le résultat !!