trouver cette f

trouver toutes les fcts définies de IR+ ==> IR+
vérifiant :f[x²/f(x)]=x

ya kelke chose qui ne va pas
avant tt f(x) doit etre différente de 0 pr tt x de IR+ ( alors l'enssemble d'arrivé doit etre IR+* ) donc f(0) diffère de 0, or si on pren x = 0 on aura f(0) = 0 ce qui est bizard, en fait je pense que ça doit etre f : IR+* --> IR+*

oui surement c de IR+* == IR+*,( c facile à comprendre)

est-ce-que la condition de continuite est donne?

salut
peut etre la fonction constante , f(x)=1

nn f(x)=1 ne marche pas !! par contre l'indentite marche a merveille!!

salut a tous
on pose x=f(x) ->alors fof(x)=f(x) et on pose x est la fonctione réciproque de f(x) alors f(x)=x

slt otman
erreur 1 : en substituant x par f(x) il vient : f(f(x)^2/f(f(x))=f(x)
erreur 2 : qui t'a dit que f admet une fction reciproque?

c'est ax TEL QUE A DE IR+*

callo a écrit:

trouver toutes les fcts définies de IR+ ==> IR+
vérifiant :f[x²/f(x)]=x

est ce qu'on peut supposer que g(x) = x²/f(x) est la fonction réciproque de f , je veux dire f- ??

callo a écrit:

trouver toutes les fcts définies de IR+ ==> IR+
vérifiant :f[x²/f(x)]=x

Bonjour Callo,

1) pas d'exigence de continuité : une infinité de solutions :
Exemple 1 : f(x)=ax, quelquesoit a>0

Exemple 2 :
f(x)=2x pour tout x de la forme 2^z (z entier relatif)
f(x)=x ailleurs

Exemple 3 :
f(x)=2x pour tout x de la forme 2^z (z entier relatif)
f(x)=3x pour tout x de la forme pi*3^z (z entier relatif)
f(x)=x ailleurs

etc.

2) exigence de continuité.
f[x²/f(x)]=x montre que f est une bijection. Donc, bijection continue, f est strictement monotone.
f(x)=x est une solution.
Supposons maintenant f(x) différente de x.
Soient alors x0 et a différent de 1 tels que f(x0)=ax0.
On montre facilement que f(a^z*x0)=a^(z+1)*x0 pour tout entier relatif z.
Donc f est strictement croissante.
Soit alors un x1 quelconque tel que f(x1) soit différent de x. Appelons b=f(x1)/x1, avec b différent de 1.
On a f(b^z*x1)=b^(z+1)*x1
Si a est différent de b, supposons sans perte de généralité que a>b.
Alors, on peut trouver (ce n'est pas une démonstration immédiate, et je crois pouvoir la donner si quelqu'un la veutt) deux entiers relatifs n et p tels que :
a^n*x0 < b^p*x1 et a^(n+1)*x0 > b^(p+1)*x1
Or, ces inégaliés contredisent la croissance stricte.
Donc a=b

Donc, pour tout x, f(x)=x ou f(x)=ax et, par continuité, f(x)=ax.

Et les seules solutions continues sont f(x)=ax, avec a>0.

Bonjour PCO:
je n'ai pas fait attention à la déduction d'injectivité.
reponse a revoir PCO. et bien vu wiles !
a+

bjr tt le monde
@ mr Patrik: je serait tres interesse par la demonstration complete des deux inegalites (si vous en avez le temps bien sur).

et autre chose mr Patrik:
comment, a partir de l'expression f(x^2/f(x))=x vous avez tire la bijectivite? je suis avec vous en ce qui concerne la surjectivite ,mais l'injectivite, je vous avoue que je n'y voit pas clair!!

wiles a écrit:

et autre chose mr Patrik:
comment, a partir de l'expression f(x^2/f(x))=x vous avez tire la bijectivite? je suis avec vous en ce qui concerne la surjectivite ,mais l'injectivite, je vous avoue que je n'y voit pas clair!!

Bonjour Wiles,

Je suis embêté : je me suis trompé et vous avez raison : le caractère injectif de f(x) n'est pas évident.

Je cherche à corriger mon raisonnement.
Merci de votre question.

--
Patrick

je propose la solution suivante pourvue qu'elle soit correcte!
on a f(x²/f(x))=x
on pose : g(x)=x/f(x)
l'E.F devient :g(xg(x))=g(x)
e n substituant x par xg(x) n fois on obtient :
g(xg^n(x))=g(x) (1)
soit xo de R+* tel que g(xo)=a
par recurence on peut etablir : g(a^z*xo)=a
on considere les trois ensembles A=(x£R+*/g(x)>1) B=(x£R+*/g(x)=1) C=(x£R+*/g(x)<1)
montrons que les elements de chacun de ces trois ensembles ont la mm image.
pour l'ensemble B c'est trivial.
soit xo un element de A tel que g(xo)=a puisque g(a^z*xo)=a et en faiant tendre z a +00 il vient que limg(x)(x==>+00)=a
et en faisant tendre n vers +00 pour tt element de A dans l'equation (1) on obtient g(x)=limg(x)(x==>+00)=a
donc g est constante pour les elements de A
en fait la mm demarche pour l'ensemble C sauf qu'ici on utilise la limite de g(x) quand x tend vers 0+
on a alors A=(x/g(x)=a) B=(x/g(x)=1) et C=(x/g(x)=c)
si un seul d'entre ces ensemle est nn vide g est constante (c ou 1 ou a)
si deux d'entre ces ensembles sont nn vides alors par continuite les deux constantes corespendantes sont egales ==> contradiction
si les trois ensembles sont nn vides alors par continuite de g a=1=c ==> contradiction
les seules solutions a cette equation fonctionnelle sont les fonctions affines.

Bonsoir ;

Si g : IR+* --> IR+* continue et telle que g(xg(x))=g(x) pour tout x>0
alors g est constante .

Avec h : IR --> IR , h(x)=ln(g(e^x)) on a h(x+h(x))=h(x) pour tout réel x ,
voir https://mathsmaroc.jeun.fr/equations-fonctionnelles-f10/olympiade-mathematique-de-leningrad-t949.htm

wiles >> Qu'est ce qui garantit l'existence des limites de g en 0+ et +oo ? (sauf erreur de ma part)

bonjour monsieur
g admet une limite en +00 car je l'ai prouve !
serieux, g(a^z*xo)=a
j'ai fait tendre z a +00 et donc y=a^z+x0 tend vers +00 mais en mem temps g(y) reste constante !!
autrement dit limg(y) quand y tend vers +00 =a
et comme vous le dite tjrs ,"sauf erreur"

Attention wiles , l'existence de la limite de g(a^n*xo) quand n tend vers + l'infini ne prouve pas ,
l'existence de la limite de g en +oo pour a>1
ni l'existence de la limite de g en 0+ pour a<1 .

exemple :
sin(2^n*Pi) tend vers 0 quand n-->+oo et pourtant la fonction sinus n'admet pas de limite en +oo

bien vu monsieur
je chercherait une rectification a ma soluce !

une question svp:
est-ce-que si une fonction continue n'admet pas une limite en +00 cela veut-il dire qu'elle est periodique a partir d'un certain rang? qu'elle est bornnee? ca pourrait arranger la chose!

[quote="wiles"].....l'E.F devient :g(xg(x))=g(x)
e n substituant x par xg(x) n fois on obtient :
g(xg^n(x))=g(x) (1)
.......quote]

Salut Wiles
c'est n-1 pas n dans ta démonstration Non?!
j'ai Une Idée c'est De Prouver que cette fonction et Non Périodique C'est a Dire admet Une Limite vers +00 Si je me trempe pas.
bonne chance

wiles a écrit:

une question svp:
est-ce-que si une fonction continue n'admet pas une limite en +00 cela veut-il dire qu'elle est bornnee? ca pourrait arranger la chose!

Re
Tu as du trouble je Vois! Mais limite dans +00 c'est à dire x tend vers +00 Mais Pas La Fonction dont tu parle! Il peut étre Bornée Mais admet Une Limite vers +00.
Sauf Erreur!

oui c ca omar n-1 fois!!
mais je ne pense pas qu'il existe un theo prouvant que si f est continue est nn periodique alors f admet une limite en +00 !!
en revanche j'ai lu un poste precedant de MR elhor ou il a signale a la possibilite de demontrer par l'absurde qu'une fonction admet une limite en +00
le poste , le voila:

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour;
Notons I l'application identique de R
et g = I +f et h = I- f
il est facile de vérifier que
hog = I et h = 2I - g
g est donc injective et comme elle est continue
elle est strictement monotone
g ne peut être décroissante car alors h serait croissante
et par suite hog=I serait décroissante
il est aussi facile (par l'absurde) de voir que g tend vers +oo en +oo
et vers -oo en -oo et par conséquent
g est un homéomorphisme croissant de R vers lui même (h=g^(-1))
Pour x et y réels distincts notons m(x,y)=(g(x)-g(y))/(x-y) >0
on vérifie facilement que m(x,y)=1/(2-m(g(x),g(y))=2-1/m(h(x),h(y))
et donc que 1/2<m(x,y)<2 la partie A = {m(x,y) / x#y } est donc bornée
ses bornes inférieure m et supérieure M vérifient
m<=2-1/m et M>=1(2-M) et donc m=M=1
et ainsi il existe un réel c tel que pour tout réel x on ait g(x)=x+c (sauf erreurs bien entendu)

pourriez vous, monsieur Elhor, me fournir la demonstration complete de cette etape ?
merci d'avance.