- aannoouuaarr a écrit:
- soit E l'ensemble N-{0,1}.
trouver tous les sous ensembles de E verifiant:
(a,b) appartient a E² ==> (a+b)/pgcd(a,b) appartient a E
1) A=Ensemble vide répond à la question
2) Si A est non vide et contient un entier n, alors il contient (n+n)/pgcd(n,n)=2.
2.1) A={2} répond donc à la question
2.2) Si A contient un entier n impair, alors :
Puisque A contient 2 et n, A contient (n+2)/pgcd(n,2)=n+2
Donc A contient tous les entiers impairs à partir de n.
Donc A contient n et (2k+1)n, pout tout k>=0, donc A contient (n+(2k+1)n)/pgcd(n,(2k+1)n)=2k+2. Donc A contient tous les entiers pairs à partir de 2.
Donc A contient n et 2kn, pour tout k>0, donc A contient (n+2kn)/pgcd(n,2kn)=2k+1. Donc A contient tous les nombres impairs à partir de 3.
Donc A contient tous les entiers à partir de 2.
Donc A=E
2.3) Si A contient un entier pair différent de 2, soit 2p le plus petit entier pair différent de 2 appartenant à A.
A contient 2 et 2p, donc (2p+2)/pgcd(2,2p)=p+1
Si p est impair, p+1 est pair et appartient à A. Mais, comme 2p est différent de 2, p est différent de 1 et p+1 est différent de 2. Donc p+1>=2p puisque 2p est le plus petit entier pair différent de 2 appartenant à A. Mais p+1>=2p implique p=1, ce qui est impossible.
Donc p est pair et p+1 est impair et A=E d'après 2.2 ci dessus.
Les trois seuls sous-ensembles de E répondant à la question sont donc :
ensemble vide
{2}
E
Très joli problème, merci aannoouuaarr
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Patrick
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