Bonjour,
Ce me semble aisé par récurrence sur n :
n = 1: Soient p1, p2, ... , p_m m nombres premiers distincts. Prendre p1p2p3...p_m.
n quelconque. Supposons n nombres a+1,a+2,....,a+n tels que a+1 soit divisible par p0 ... p_(m-1), a+2 par p_m .... p_(2m-1), a+3 par p_2m ... p_(3m-1) .... tous les p_i étant distincts.
Soit P = p0 p1 p2 ... p_(mn-1)
Soient p_mn, p_(mn+1), ... , p_((n+1)m-1) m nombres premiers distints des mn déjà utilisés.
On va considérer les n+1 nombres consécutifs : a+1+kP, a+2+kP, ..., a+n+1+kP, avec un k à déterminer.
Les n premiers nombres sont bien tous divisibles chacun par m nombres premiers distincts.
Il suffit donc de déterminer k tel que a+n+1+kP = 0 [p_mn p_(mn+1), ... , p_(mn + m-1)]
Et cela est aisé puisque P est premier avec p_mn p_(mn+1), ... , p_(mn + m-1) :
il existe donc k0 tel que k0 P =1 [p_mn p_(mn+1), ... , p_(mn + m-1)]
Il suffit alors de prendre k = -k0(a+n+1) [p_mn p_(mn+1), ... , p_(mn + m-1)] pour avoir le résultat.
exemple :
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m=2, n=3
étape n=1 : prendre 2 nombres premiers , par exemple 2 et 3
6 vérifie la demande
étape n=2 : prendre 2 autres nombres premiers, par exemple 5 et 7 et chercher k tel que :
6+1+6k = 0 [35]
on a k0=6 : 6*6=1 [35] ==>k= -7k0 = 28
174, 175 vérifient la demande
étape n=3 : prendre 2 nouveaux nombres premiers, par exemple 11 et 13
chercher k tel que :
175+1+k*2*3*5*7 = 0[11*13]
on a k0= 111 (car 111*210 = 1 [143]) ==> k = -176*111 [143] ==> k = 55 ==> le dernier nombre de la suite est 176 + 55*210 = 11726
==> 11724, 11725 et 11726 vérifient la demande :
11724 est divisible par 2 et 3
11725 est divisible par 5 et 7
11726 est divisible par 11 et 13
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Patrick
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