Démonstration per récurrence

Bonjour tout le monde!!
Quelqu'un pourrait-il m'aider pour cet exercice s'il vous plaît???

f est la fonction définie sur R* par f(x)=1/x.
a) Déterminer les fonctions dérivées successives f', f", f^(3), f^(4).
b) Conjecturer une formule donnant l'expression de la fonction dérivée
n-ième de f avec n appartenant à N*.
c) Démontrer cette formule par récurrence.

Donc voilà, j'ai réussi à faire le a) et à conjecturer dans le b) la formule suivante: P(n): " f^(n) (x)=(-1)^(n) *1*2*3*...*n*x^(-n-1) ".
Mais je n'arrive pas à faire le c). Si vous pouviez m'aider ce serait sympa.
Merci.

a)f'(x)=-1/x² et f''(x)=2/x^3 f'''(x)=-6/x^4 et f''''(x)=24/x^5
b)d'ou on peut conjucturer que f^n(x)=((-1)^n)(n!/(x^(n+1))
c) on a pour el premier valeur 1 est juste
on consuder que f^n(x)=((-1)^n)(n!/(x^(n+1)) juste
donc f^(n+1)(x)=(f^n(x))'=((-1)^n)(n!/(x^(n+1))'
=((-1)^n)((n!)'x^(n+1)-n!(x^(n+1))'/(x^2(n+1))
=((-1)^n)(0-n!*(n+1)x^n)/(x^2(n+1))
=((-1)^n)*(-1))((n+1)!(x^n/(x^2(n+1))
=((-1)^(n+1)(n+1)!/x^(n+2)
donc la fpormile est juste

Merci pour ta réponse!
Mais au fait pourquoi il ya des sortes de points d'exclamations???

n!=1*2*3*4....n

ah d'accord... merci