nombres premiers.

Féru Nombre de messages : 42 Age : 34 Date d'inscription : 15/07/2008

prouver qu'il existe une infinité des nombres premeirs.

je veux plusieurs méthodes.

Modérateur Nombre de messages : 246 Age : 24 Date d'inscription : 27/06/2008

A part les classiques, en voilà une très originale munie d'explications:
http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/nombres/premiers.pdf

sum 1/pi avec pi nbr premier , est divergente -->+OO Laughing

alors {nbr premier} est infinie lol!

en fait je pense que ça sera plus amusant de montrer que cette suite diverge .

A+

hmmmm,pour selrespect j'ai juste démontrer ce résultat avant hier et je poste la démonstration car il me faut un peu de temps pour la rédiger.

boukharfane radouane a écrit:: hmmmm,pour selrespect j'ai juste démontrer ce résultat avant hier et je poste la démonstration car il me faut un peu de temps pour la rédiger.

moi je viens juste de le voir qq jours avant ( ya zeta qui intervient Laughing

) bonechance Smile

no y'as plus de zeta ni beta,c'est trés élementaire.

boukharfane radouane a écrit:: no y'as plus de zeta ni beta,c'est trés élementaire.

alors , J'attend impatiemment ta reponse radouane Very Happy

.

selrespect a écrit:

Citation :: alors , J'attend impatiemment ta reponse radouane

attends seulement 15 minites pour que puisse la rédiger.

Genial , mais je n'arrive pas a imaginer l'inegalitée utilusée au debut , :p:

ben réflichis un peu et traiter des cas simples,sinon je déttaierai.

boukharfane radouane a écrit:: ben réflichis un peu et traiter des cas simples,sinon je déttaierai.

Ok

je vais en reflechir ce matin Laughing

il ya un théorème tellement bizarre et j'imagine plus comment il a pu démontrer (j'ai oublié le nom du mathématicien) qui stipule que la somme de l'inverse (1/x) des nombres premeirs jumelles (twin primes ) convergent vers une constante qui s'appelle peu étre et si je me rappelle bien B.
ie:
les "twin priems" dont de la forme p et p+2 à condition qu'ils soient tous les deux premeirs.
par exemple (3,5),(5,7),(11,13)....

Maître Nombre de messages : 103 Date d'inscription : 23/11/2006

Je reste simple en proposant la démonstration d'Euclide :

Par l'absurde, supposons que l'ensemble des nombres premiers soit fini soit p1, ...pn ces nombres avec n un entier strictement positif fixé.

En considérant a = p1.p2...pn + 1, on voit que est se décompose en facteur premier d'où il existe un i tel que p_i divise a et p_i divise p1...pn donc p_i divise 1 ce qui est absurde

Plus généralement, il existe toujours un nombre premier compris entre n!+1 et (n+1)!+1 pour tout entier n.

autres démonstrations,d'apres la conjecture de BERTRAND démontre aprés par le fameux et le génie de l'arithmétque ERDOS et le le prodige RAMUNAJAM et le russe TCHEBCHEV
qu'entre n et 2n il existe un nombre premier,alors il suffit de faire tendre n à l'infinie on déduit que IP est infinie.
y'a aussi une autre démonstration d'un mathématicien MAROCAIN qui s'appelle M.ELBECHRAOUI qui stipule qu'entre 2n et 3n il existe un nombre premier donc on fait tendre n à l'infinie...

Maître Nombre de messages : 103 Date d'inscription : 23/11/2006

Je crois qu'on peut le montrer avec les nombres de Fermat.

pour tout n, on pose F_n = 2^(2^n) + 1

Montrer que F_n et F_m sont toujours premiers entre eux
En déduire une infinité de nombres premiers.

lketba dial drari sghar geek

Modérateur Nombre de messages : 246 Age : 24 Date d'inscription : 27/06/2008

C'est bien radouane même si j'ai encore quelques petits doutes.

galois2000 a écrit:: prouver qu'il existe une infinité des nombres premeirs.

je veux plusieurs méthodes.

Tu sais il ne faut pas apprendre les methodes mlk !!

Sinon c'est jolie come truc pelikano : je me permet d'ajouter une question intermédiaire à ton probléme :

Mq si 2^n +1 est un premier alors n est une puissance de 2 Smile

raito321 a écrit:

galois2000 a écrit:: prouver qu'il existe une infinité des nombres premeirs.

je veux plusieurs méthodes.

Tu sais il ne faut pas apprendre les methodes mlk !!

Sinon c'est jolie come truc pelikano : je me permet d'ajouter une question intermédiaire à ton probléme :

Mq si 2^n +1 est un premier alors n est une puissance de 2 Smile

c facile est deja vu plusieur fois,il s'agit seulement de supposer que n n'est pas une puissance de 2

2-Théorème de Legendre :
L’ensemble des nb premiers >0 a une densité limite nulle ; c'est-à-dire : lim Pn/n =0.
Prop1 : la somme des inverses des nb premiers vaut +00 (plus l’infini).
.
Prop2 : Pour tout n de IN*, on a :ln(ln(n)) ln(ln(n)) +1.
Prop3 : de Gauss : lim =1 c'est-à-dire : Pn est équivalent à n/ln(n) au voisinage de + .
Prop4 : Pour s>0 on a : = .
Preuve du théorème de Lagrange :
Lemme :Soit n élément de IN, l’ensemble des entiers qui ne sont pas multiple d’aucun des n premiers nb premiers :p1=2 ; p2=3 ;… ;pn ,possède une densité limite Pn= .
Preuve : Remarquons d’abord que si x élément de IN n’est pas multiple d’aucun des pi ,i=1,2,…,n alors x est premier avec chaque pi ,donc premier avec alors ,d’après le théorème Chinois il existe (x1,x2,…,xn) unique ou chaque xi est entre 1 et pi -1 ; x=xi [pi] ; par conséquent ,les x qui ne sont multiples d’aucun pi sont au nombre de suites

(xi ) i=1,2,…,n ,or ces suites sont au nombre de : ;donc le nb de x dans [0, -1] qui ne sont multiple d’aucun pi est : .Il en est de même pour les x dans chaque intervalle :[y+1,y+ ].La densité limite des nb qui ne sont pas multiple d’aucun pi i=1,…,n, est donc exactement égale à la densité de ces nb sur chaque intervalle, soit :Pn= =(1-1/2)(1-1/3)…((1-1/pn) .
-Preuve du théorème :
Si la densité limite des nb premiers existe elle est inférieur à Pn du lemme pour tout n élément de IN. Montrons que lim Pn=0 ; pour ce la montrons que lim 1/Pn = +00 .
On a :1/Pn= (car 1/1-p = pour tout p ; /p/<1 )
= (produit de séries) .
Or chaque entier >1 est de manière unique à ordre près produit de facteurs premiers ;
D’où lim = =+ .
Donc lim Pn=+00 ; donc l’ensemble des nb premiers a une densité limite nulle CQFD.
-Lemme :soit j élément de IN*,p1,…,pj les j premiers nombres premiers positifs ; pour tout x de IN*, on note Nj(x) le nb d’entiers n élément de {1,2,…,x} dont tous les facteurs premiers sont pris parmi,p1,…,pj ;alors on a :Nj(x) .
Preuve :soit n un entier entre 1 et x que dénombre Nj(x) par définition, il existe(a1,… ,aj) élément de INj tel que :n= =m²q avec m² est le produit des facteurs premiers de n de multiplicité paire et q le produit des facteurs premiers de n de multiplicité 1 ( la partie q peut contenir tous les pi i=1,…,j à la multiplicité 0 ou 1, soit deux possibilités pour chaque facteur pi, i=1,..,pj, par conséquent le nb de valeurs possibles pour q est =<2j.
Quant à la partie m du nb n, elle vérifie m²=<x (car m²q=<x ) d’où m=< donc il y a au plus possibilités pour m dans l’écriture n=m²q et au plus 2j possibilités pour q, donc il y a au plus 2j possibilités pour n d’ou NJ(x) =<2j .
-Preuve de Prop1( du théorème de raréfaction d’Euler ) :
Supposons que =S élément de IR ,soit j élément de IN tel que :
S- Sj=
Soit x un entier naturel fixé, Nj(x) comme dans le lemme ci-dessus, on a d’abord :
x/pj+1 +x/pj+2 +… ,
Remarquons que le nombres d’éléments de {1,2,…,x}qui sont multiples de pk est inférieur à x/pk (en effet si n est le plus grand nb entier tel que npk soit inférieur à x alors n est inférieur ou égal à x/pk). soit alors Mj(x) le nb d’entiers naturels inférieurs à x qui sont divisibles par l’un au moins des :pj+1,pj+2 ,…on a :

Mj(x)
Or on a par définition : Mj(x)=x-Nj(x) puisque Nj(x) dénombre les entiers entre 1 et x qui ne sont divisible par aucun des nb premiers pj+1, pj+2 …
Donc : x-Nj(x)=< x/2 d’où x/2 =< Nj(x) or Nj(x) =< 2j d’où =< 2j+1 soit x=< 22j+2 et ce ci pour tout x de IN ce qui est absurde ; donc =+00.CQFD.
Remarque : d’après le lemme on a : Nj(x)=< 2j , si on prend j= au nb de nb premiers inférieur à x alors x < pj+1 d’où Nj(x) =x alors x .
-Corollaire : Pour tout n élément de IN* on a : .
3-Théorème de raréfactionrarifaction de Hadamard et de La Vallet Poussin :
Existe-t-il une fonction simple tel que  /f(m) tend vers 1 lorsque m tend vers l’infini ?
Gauss à l’age de 15 ans remarqua en scrutant les tables des nb premiers que la densité des nb premiers <=m est approximativement égale à 1/ln (m). Ce résultatresultat non démontrer conduit Gauss à proposer la fonction li (m)= 1/ln (t) dt comme approximat de .
Li est nomménomé logarithme intégralintegral.
L’idée de cette approximation est la suivante : quand une densité mesurant une certaine grandeur pour une variable continue x vaut f(x) entre les valeurs a et b de la variable x la densité totale de la grandeur est donnée par : f(x)dx .
On a alors 1/ln(x) dx est équivalent à Pm quand m tend vers l’infini.
Or 1/lnx ~équivalent~equiv 1/lnx -1/ln²x d’où 1/lnx dx équivalentequiv (x/lnx)’dx , d’où Pm équivalent à equiv m/ln( m) quand m tend vers l’infini.
On a alors Conjecture de Gauss implique :
Th de HADAMARD ET DE LAVALLET POUSSIN
: /(m/ln(m)) tend vers 1 quand m tend vers l’infini.
4-Ordre de grandeur de pn :
Pro1 : th de Russer 1938 :
N(ln(n)+ln(ln(n)-10)<pn<n(ln(n)+ln(ln(n)+
Soit pn équivalent à equiv n ln(n)+n(ln(ln(n)-1).
Pro : the de U. Felgner 1990
n ln(n)< pn <1,7n ln(n).
Pro3 : pour tout n de IN* on a :
Pn + pn+1> pn+2.
Remarque : la fonction qui approche mieux Pn n’est ni m/ln m ni li(n) ,mais la fonction de Reimanne R (m)= ou u est la fonction de Mobius qui vaut :
U(1)=1 u(n)=(-1)k si n=p1….pk ou les pi sont premiers distincts ; u(n)=0 si non
5-HYPOTHESE DE REIMMANE/
s>1
on prolongeprolange à C –{s/ r(s)>1} =D:

s élément de D. Cette fonction (la fonction zêtazéta de Reimanne) s’annule sur l’axe des abscisses en : -2 ;-4 ;-6 ….
Thé : = R(m) + .
Hypothèse de .Reimanne : les zéros non triviaux de la fonction zêta de Reimanne sont tous sur la droite x= ½.

Maître Nombre de messages : 103 Date d'inscription : 23/11/2006

On peut aussi montrer sans trop de difficulté qu'il y a une infinité de nombres premiers congrus à -1 modulo 4

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