géometrie et inégalité!!

soit ABC un triangle,R le rayon du cercle circonsrit et r le rayon du cercle inscrit.
montrer que:

tu veux ecrire !!!!

la deuxieme inégalité(celle proposée par samir) est plus fine que la premiere, mais je sais ps si elle é vraie ou non!

samir a écrit:

tu veux ecrire !!!!

bel_jad5 a écrit:

la deuxieme inégalité(celle proposée par samir) est plus fine que la premiere, mais je sais ps si elle é vraie ou non!

l'inégalité que j'ai proposé est très connu .Donc elle est vraie

si la deuxieme est vraie alors la premiere en découle immediatemen( par l inégalité d euler R>=2r)
reste a prouver la deuxieme !

a et b et c les longueurs du triangle
on a
alors

d'ou

càd

càd

hi samir ! je pense que ça

merite une demonstration !!

bel_jad5 a écrit:

hi samir ! je pense que ça

merite une demonstration !!

donc je le propose comme exercice

السلام عليكم

nous sommes bien d'accord que :

r²/(2R²) = (1-cosA)(1-cosB)(1-cosC) = E

Il suffit de supprimer la relation entre les variables en substituant C par son expression en fonction de A et B :

E = (1-cosA) (1-cosB) (1+cos(A+B))

et de regrouper la variable B en un seul endroit:
E = (1-cosA). 2sin²(B/2). 2cos²((A+B)/2)
= (1-cosA) (X - sin(A/2))²
avec X = sin(B+A/2)
[sinx cosy = 0.5 {sin(x+y) + sin(x-y)}]

de même :

F = cosA cosB (-cos(A+B))
= -0.5 cosA {cos(A+2B) + cos(-A)} = -0.5 {1 - 2X² + cosA}

Si les angles du triangle sont égaux, on a égalité. Sinon, on commence par supposer que A>Pi/3.

Alors, pourquoi E >=F ? Avis aux petits téméraires

salam

فسبحان الله حين تمسون وحين تصبحون

Bonjour,

la deuxième inégalité est fausse, par exemple pour
A = 59°, B = 60.05° = C.

la première est correcte, toujours via des transformations trigonométriques.

salam

The solution:


Nous partons toujours de la relation :


r= 4.R.sin(A/2).sin(B/2).sin(C/2),
Il revient à monter que :

E = cos(A).cos(B).cos(C)
<= F = 2.sin(A/2).sin(B/2).sin(C/2).(1-4. sin(A/2).sin(B/2).sin(C/2))

l'idée étant de réduire le nombre de variables puisqu'elles sont dépendantes entre elles,
et de regrouper une des deux variables restantes en un seul endroit.

E = -0.5 . cosA .(1 -2X² + cos(A))
= (1 - 2.sin²(A/2)).{X² - (1 - sin²(A/2))}
F = sin(A/2).(X-sin(A/2)).{1-2.sin(A/2).(X-sin(A/2))}
= sin(A/2).{-2.sin(A/2).X² + X .(1+4.sin²(A/2)) - sin(A/2).(1 - sin²(A/2))}

X = sin(B+A/2) appartient au domaine [sin(A/2), 1]

F -E = -X² + X . sin(A/2).(1+4.sin(A/2)) + 1 - 4.sin²(A/2)

c'est une parabole dirigé vers le bas, donc concave, et il faut alors et suffit que les images
en 1 et en sin(A/2) soient positives.


Je me permets de rappeler là certaines relations qui servent des fois à obtenir directement certaines
expressions, et inégalités d'ailleurs.

d'abord les formules de surface qui regroupent entre elles un
nombre de relations entre les côtés et angles du triangle :

S = 0.5 bc sin(A) (= 0.5 ca sin...)
= abc /(4R) = p.r (p le moitié du périmètre) = racine carrée(p.(p-a).(p-b).(p-c))

un moyen pour retrouver simplement l'expression du début est d'écrire que:

r = L1 tan(B/2) = L2 tan(C/2) avec L1 + L2 = a en considérant le cercle inscrit dans ABC, dont le centre bien sûr
est l'intersection des bissectrices.

aussi, la trigonométrie ...

...
sina + sinb = 2sin((a+b)/2) . cos((a-b)/2)
sina - sinb = 2cos((a+b)/2) . sin((a-b)/2)
cosa - cosb = -2sin((a+b)/2) . cos((a-b)/2)
cosa + cosb = 2cos((a+b)/2) . cos((a-b)/2)

et bien sûr les développements de sin(a+b) ... qui donnent les expressions de sina.cosb ...

Je vous remercie pour ce site, orgénisé dans l'espace : catégories en entrée et dans le temps : défis..
baraka allah fikoum.