- kalm a écrit:
- resoudre dans lN l'equation suivante
x!+y!=x^y
Bonjour,
1) on a nécessairement x pair et x>=2 et y>=2 :
Si y=0 et x=0, l'équation est 1+1=0^0 et n'est pas vérifiée
Si y=0 et x>0, l'équation est x! + 1 = 1 et n'est pas vérifiée
Si y=1, l'équation est x! + 1= x et ne peut être vérifiée.
Donc y >= 2
Si alors x=0, l'équation est y! + 1 = 0 et ne peut être vérifiée
Si alors x=1, l'équation est y! + 1 = 1 et ne peut être vérifiée
Donc on a aussi x>= 2
x>=2 et y>=2 impliquent x! et y! pairs et donc x^y pair et donc x pair
CQFD
2) Si y >= x-1:
x-1 divise le terme de gauche mais ne peut diviser le terme de droite que si x=2 et on a alors 2 + y! = 2^y.
Dans ce cas, y est pair et, si y>=4, 4 divise y! et 2^y, mais pas 2 et l'équation est impossible. Donc y ne peut valoir que 2.
Et on a dans ce cas une seule solution : x=y=2 : 2! + 2! =2^2
3) Si y < x-1
Soit alors b=ord2(y!) le plus grand entier tel que 2^b divise y!.
On a b=[y/2]+[y/4]+[y/8]+... < y/2 + y/4 + y/8 + ... = y
Comme x >= y+2, 2^(b+1) divise x! (puisque 2^b|y et que y+2 est pair)
Comme b<y et x pair (cf 1.) 2^(b+1) divise x^y
Donc 2^(b+1) divise x^y et x! mais pas y!. L'équation est alors impossible.
La seule solution à cette équation est donc x=y=2.
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Patrick
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