MONTRER UNE CONTINUéTé

SALUT
soit f une fonction tel que
quelque soit x,y appartenant a lR
f(x+y)=f(x)+f(y)
montrer que si f est continue sur 0 alors f est continu sur lR

slt
on suppose que f est continue en 0
on a dabord f(0)=0
lim f(x)=limf(t+x0)=limf(t)+f(x0)
x--x0 t-0 t-0
d'ou la réponse

on a f(0)=2f(0) donc f(0)=0 et f(x-x)=f(x)+f(-x) =>
f(x)+f(-x)=0 et puisque f est contenue en 0 donc
(que soit a>0)(il'ya y>0)(que soit x) !x!<y=>!f(x)!<a
on prend x=m-x0 donc
(que soit a>0)(il'ya y>0)(que soit m) !m-x0!<y=>!f(m-x0)!<a
donc f est contenue en x0£R donc f contenue en R

mohamed_01_01 a écrit:

on a f(0)=2f(0) donc f(0)=0 et f(x-x)=f(x)+f(-x) =>
f(x)+f(-x)=0 et puisque f est contenue en 0 donc
(que soit a>0)(il'ya y>0)(que soit x) !x!<y=>!f(x)!<a
on prend x=m-x0 donc
(que soit a>0)(il'ya y>0)(que soit m) !m-x0!<y=>!f(m-x0)!<a
donc f est contenue en x0£R donc f contenue en R

bjr
la dernier relation que tu as écris ne donne ps directement la solution
il faut trouver que qlq soit m : f(m)=f(x0)+f(m-xo)

callo a écrit:

slt
on suppose que f est continue en 0
on a dabord f(0)=0
lim f(x)=limf(t+x0)=limf(t)+f(x0)
x--x0 t-0 t-0
d'ou la réponse

salut
tu peux mieux expliquer la partie rouge

on pose t=x-x0
x=t+x0
donc limf(x)=lim f(x0+t)=limf(t) + f(x0)
x-x0 t-0 t-0
donc ilm suffit que f soit continu en 0 cad que sa limite en 0 soit f(0)=0
d'ou lim de f en x0 est f(x0)...

callo a écrit:

on pose t=x-x0
x=t+x0
donc limf(x)=lim f(x0+t)=limf(t) + f(x0)
x-x0 t-0 t-0
donc ilm suffit que f soit continu en 0 cad que sa limite en 0 soit f(0)=0
d'ou lim de f en x0 est f(x0)...

tu as montré que si f(0)=0 et f continu sur 0 alors f continu sur R
c ca?
tu n'a pas utilisé f(x+y)=f(x)+f(y)

pour arriver a la condition de f(0)=0 on a dépassé la continuité... relis la réponse

lonly a écrit:

SALUT
soit f une fonction tel que
quelque soit x,y appartenant a lR
f(x+y)=f(x)+f(y)
montrer que si f est continue sur 0 alors f est continu sur lR

si f est continu en 0
=> limf(x) = f(0) = 0
x->0

<=> (quelque soit e>0) (il existe alpha >0) (pour tout x de R) :

IxI < alpha => If(x)I < e

remarquane que : f(x-x0) + f(x0) = f(x) <=> f(x-x0) = f(x)-f(x0)

donc (quelque soit e >0) (il existe alpha >0) (pour tout (x-x0) de R)

Ix-x0I < alpha => If(x-x0)I < e => If(x)-f(x0)I < e

d'ou le résultat