montrer que:

soit p, q et r les solutions de l'equation : x^3-x²-x+1/3=0
montrer que : p^3+q^3+r^3=3

a+

soit p(x)= x^3-x²-x+1/3
p, q et r les solutions de p
donc :p(x)=(x-q)(x-p)(x-r)
donc:
p+q+r=1
et pq+qr+pr=-1
et pqr=-1/3

ona:
( p+q+r¨)^3=p^3+q^3+r^3+3(p+q)r(p+q+r)+3pq(p+q)
=p^3+q^3+r^3+3(p+q)r+3pq(1-r)
=p^3+q^3+r^3+3(p+q)r+3pq-3pqr
=p^3+q^3+r^3+3(pq+qr+pr)+1
d'ou:
p^3+q^3+r^3=3

juste;)

merci

fermat1988 a écrit:

soit p(x)= x^3-x²-x+1/3
p, q et r les solutions de p
donc :p(x)=(x-q)(x-p)(x-r)
donc:
p+q+r=1
et pq+qr+pr=-1
et pqr=-1/3

ona:
( p+q+r¨)^3=p^3+q^3+r^3+3(p+q)r(p+q+r)+3pq(p+q)
=p^3+q^3+r^3+3(p+q)r+3pq(1-r)
=p^3+q^3+r^3+3(p+q)r+3pq-3pqr
=p^3+q^3+r^3+3(pq+qr+pr)+1
d'ou:
p^3+q^3+r^3=3

Bravo fermat1988 !!! Rien à rajouter !!!
A+

fermat1988 a écrit:

merci

c la vérité

dsl mais pourriez vous m expliquez pourquoi vous avez conclu que p+q+r=1
et pq+qr+pr=-1
et pqr=-1/3
merci d avance

BJR $arah !!!
<< Soit P(X)= X^3-X^2-X+1/3
p, q et r les solutions de p
donc : P(X)=(X-q)(X-p)(X-r) >>
Tu développes l'expression :
P(X)=(X-q)(X-p)(X-r)
et tu trouveras X^3-(p+q+r).X^2+(pq+qr+pr).X-pqr
tu identifies ensuite les deux expressions de P(X) :
X^3-X^2-X+1/3=X^3-(p+q+r).X^2+(pq+qr+pr).X-pqr et tu trouveras que :
p+q+r=1
pq+qr+pr=-1
puis pqr=-1/3
Pas bien sorcier tout celà !!!!
A+

on va calculer
(x-p)(x-q)(x-r)=x^3-(p+q+r)x^2+(pq+qr+pr)x-pqr=
puis on va utiliser la proprietes des polinomes egaux
dou on aura
et pq+qr+pr=-1
et pqr=-1/3
p+q+r=1

merci bien j ai compri comment ca marche

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR $arah !!!
<< Soit P(X)= X^3-X^2-X+1/3
p, q et r les solutions de p
donc : P(X)=(X-q)(X-p)(X-r) >>
Tu développes l'expression :
P(X)=(x-q)(X-p)(X-r)
et tu trouveras X^3-(p+q+r).X^2+(pq+qr+pr).X-pqr
tu identifies ensuite les deux expressions de P(X) :
X^3-X^2-X+1/3=X^3-(p+q+r).X^2+(pq+qr+pr).X-pqr et tu trouveras que :
p+q+r=1
pq+qr+pr=-1
puis pqr=-1/3
Pas bien sorcier tout celà !!!!
A+

on peut généraliser

oui regarde lexo polinome difficile mais util