recurrence logique

démontrez que : quelque soit n de N et n>=4 2^n>=n²

titans a écrit:

démontrez que : quelque soit n de N et n>=4 2^n>=n²

remarque tt simplement ke 2^(n+1) = 2^n*2 >= 2n²

il suffi de demontrer que 2n² >=(n+1)² ==> n²-2n-1 >= 0

ona : n²-2n-1 = (n-1)²-2 = (n-3)(n+1) >=0 car n>=4

effectivement par recurrence :
pour n=4 condition vérifiée
pour n=5 de même

on suppose P(n) et on démontrer P(n+1)
on a 2^n>=n²
donc 2^n+1>=2n²>=(n+1)² (on peut résoudre l'inégalité pour en etre sur)

d'ou P(n)