Notion de Cardinal

soit E et F deux ensembles finis non vides
On note F^E les applications de E dans F et on pose card(E)=p card(F)=n

Montrer que card(F^E)=card(F)^p=n^p

d'abord, il faut ajouter a l'enoce la condition n<p sinon c'est faux
on notera xi les elements de E avec i varie de 1 a p
on a n maniere pour choisir l'image de chaque xi et donc le nombre d'application est n*n*...*n p fois cad n^p

slt,
on pose :

card(E)=n et card(F)=p

démonstration par recurrence :
on pose f_p(n)=card(F)^E
pour n=1 :f_i(1)=i pour i un naturel compris entre 1 et p
card(F^E)=p

on suppose que f_p(n)=p^n

soit E' = E U {n+1}

et soit f' le prolongement de la fonction f tels que :

f '(n)=f(n) f £ F^E (l'ensemble des fonctions définies de E jusqu'a F)
f '(n+1)=i i étant un naturel compris entre 1 et p

on a f ' £ F^E'
donc
card(F^E')=p*card(F^E)=p^(n+1)

d'ou la réponse

wiles a écrit:

d'abord, il faut ajouter a l'enoce la condition n<p sinon c'est faux..................

BJR Wiles !!! Je ne vois pas pourquoi imposer une telle contrainte sur n et p !!!!
Il n'y a pas à imposer n<p !!!
Maintenant , si tu cherches les applications f INJECTIVES de E dans F il faudra supposer p<=n pour que le comptage soit réalisable et alors ce nombre ( d'applications INJECTIVES de E dans F ) serait égal à p!.C(n;p) .
A+ LHASSANE

ah desole monsieur j'ai pas fait attention,que suis bete!!

qu'en pensez vous de ma démonstration

vous n'avez pas commenté !

j'ai pas compris cette notation callo: f_p(n)

f_p(n)=p^n

Mahdi a écrit:

soit E et F deux ensembles finis non vides
On note F^E les applications de E dans F et on pose card(E)=p card(F)=n

Montrer que card(F^E)=card(F)^p=n^p

salut il faut montrer que F(E,F) et F^n (tq cardE=n=) sont equipotentes donc il faut trouver une bijection de F(E,F) dans F^n
bonne continuation

saad007 a écrit:

Mahdi a écrit:

soit E et F deux ensembles finis non vides
On note F^E les applications de E dans F et on pose card(E)=p card(F)=n

Montrer que card(F^E)=card(F)^p=n^p

salut il faut montrer que F(E,F) et F^n (tq cardE=n=) sont equipotentes donc il faut trouver une bijection de F(E,F) dans F^n
bonne continuation

Bonsoir saad007 !!!
La question posée par Mahdi a été RESOLUE de manière INDISCUTABLE car on a réussi à dénombrer et compter toutes les applications de E dans F . Wiles l'a très bien fait !!!
Maintenant , tu suggères une autre façon , c'est très bien !!!!
Montrer directement que F^E est équipotent à F^n ; ce n'est pas compliqué à faire :
On note E={a1,a2,.........an} l'ensemble E et
si f est une application quelconque de E dans F on note T(f) le n-uplet de F^n suivant T(f)=(f(a1),f(a2),........,f(an))
Il suffit de vérifier que T est une BIJECTION de F^E sur F^n .
A toi de jouer !!! Tu es en MPSI , je crois !!!
A+ LHASSANE

wiii c'est ca en fait je laisse les autres faire car on a demontrer ca bonne chance

qu'en dites vous de la mienne? , encore une fois