Combien y avait-il d’animaux ?

L' Exercice 2 proposé aux olympiades français 2006 Montpellier
Sur une île chaque jour et dans cet ordre, chaque loup tue un mouton, chaque mouton tue un serpent et chaque serpent tue un loup.

Après dix jours il ne reste plus sur l’île qu’un mouton et aucun autre animal.

Combien y avait-il d’animaux de chaque espèce au départ ?

On désigne par L_n , M_n et S_n respectivement le nombre de loups moutons et serpents aprés n jours. La question est de trouver L_0 , M_0 et S_0 sachant que L_(10)=0 , M_(10)=1 et S_(10)=0.

On a (L_(n+1) , M_(n+1) et S_(n+1))= A ( L_n , M_n et S_n) où A est la matrice:
1ére ligne : ( 1 , -1 , 0 )
2éme ligne : ( 0 , 1 ,-1 )
3éme ligne : (- 1 , 0 , 1 )

Donc : Il suffit de calculer A^n ( diagonaliser A) , puis chercher la matrice B l'inverse de A^(10)
On a alors B( 0, 1, 0) = (L_0 , M_0 , S_0).

cette question est une bonne application sympatique sur la réduction ou sur les systèmes linéaires.

soient l_0, m_0 et s_0 le nombre de chaque categorie
aux i eme jour : au début le le nombre est :l_j-1, m_j-1 et s_j-1
a la fin de la journée:
m_j=m_(j-1)-l_(j-1)
s_j=s_(j-1)-m_j
l_j=l_(j-1)-s_j
(l_(j-1);s_(j-1);m_(j-1))=(l_j+s_j;s_j+m_j;m_j+l_j+s_j)
avec s_10=0 et l_10=0 et m_10=1
comme ça on passe d un triplet a lautre
ainsi:
(0,0,1)( 0 ,1 ,1)....
il faut noter que ce probleme est du nivo PS , ils connaissent pas les matrices !!