demonstration dun artan

slt
demontrer que pour tt x de R*+ on a
artanx +artan1/x =pi /2

arctan1/x est compris strictement entre 0 et pi/2
donc pi/2 - arctan(1/x) est compris entre -pi/2 et pi/2
alors
artanx +artan1/x =pi /2
equivalent à dire :

arctanx=pi/2 -arctan(1/x)
x=1/1/x =x

d'ou la réponse

galoiscauchey a écrit:

slt
demontrer que pour tt x de R*+ on a
artanx +artan1/x =pi /2

BSR à Vous !!!
Considère la fonction f définie par f(x)=Artanx +Artan1/x de IR*+ dans IR
Elle est définie , continue sur IR*+ , elle y est dérivable et de DERIVEE NULLE donc elle est constante sur IR*+ et vaut donc C.
On détermine facilement la valeur de cette constante en cherchant
Lim f(x) quand x----->+oo et on trouve C=Pi/2 .

En fait , on a l'identité suivante :
Artanx +Artan1/x = (x/|x|).Pi/2 pour tout x dans IR*

A+ LHASSANE

merci pr la reponce mais je cherche une solution sans contunuité ni derivation on a cette theoreme avant lces chapitre donc moi je sé po ces trucs de derivation et lautre

ma démonstration de necessite rien elle est simple.

galoiscauchey a écrit:

merci pr la reponce mais je cherche une solution sans contunuité ni derivation on a cette theoreme avant lces chapitre donc moi je sé po ces trucs de derivation et lautre

Prends donc celle de callo TOUT DE SUITE et gardes la mienne pour PLUS TARD !!!!
Pour callo : je n'ai JAMAIS prétendu que ta solution est bonne ou mauvaise . ELLE EST CORRECTE . Si a et b sont dans ]-Pi/2;Pi/2[ alors
{a=b <======> Tan(a)=Tan(b)}
A+ LHASSANE

oui, j'ai rien dit moi aussi
la votre est logique, mas elle necessite de connaitre la dérivée de arctanx et ma dérivé de gof.
c tt

re
jai besoin dexplicatio de la demonstration de callo car jai rien pigétu pe maider

ok,
on va utiliser les equivalences, pour ça on va utiliser tan .
donc son doit s'assurer que pi/2-arctan1/x ou pi/2 - arctanx ne sont pas egales à pi/2 + kpi (domaine de définition de tan)
arctan1/x est compris strictement entre 0 et pi/2
donc -arctan1/x est compris strictement entre -pi/2 et 0
d'ou pi/2-arctan1/x est comprise strictement entre -pi/2 et pi/2
artanx +artan1/x =pi /2 equivalent à dire
arctanx=pi/2 - arctan1/x
x=tan(pi/2 -arctan1/x)
x=1/tan(arctan1/x)=x

d'ou le resultat

tt est clair mais tas comment arctan1/x esr compris strictement entre 0 et pi/2

normalement arctan(t) est compris entre -pi/2 et pi/2 strictement.
et puisque 1/x est supérieur strictement à 0
alors arctan(1/x) est compris entre 0 et pi/2 strictement

galoiscauchey a écrit:

slt
demontrer que pour tt x de R*+ on a
artanx +artan1/x =pi /2

C'est du cours -_-
et pou tt x € IR*-
arctanx+ arctan(1/x)=-pi/2

ainsi que la derivation marche pour la demontrez

tu peux ainsi poser a=arctan x et b = arctan 1/x avec a et b compri strictement entre entre 0 et pi/2
alors tan(b)=cotan(a)=tan(pi/2-x)

lonly a écrit:

tu peux ainsi poser a=arctan x et b = arctan 1/x avec a et b compri strictement entre entre 0 et pi/2
alors tan(b)=cotan(a)=tan(pi/2-x)

est contang hors programme

ps: cotanx=1/tanx=cosx/sinx telque x#pi

ya une autre maniere
tu peu faire tg( artanx - pi/4 ) puis tg( pi/4 - artan1/x )
en fin tu trouvera ke tg( artanx - pi/4 ) = tg( pi/4 - artan1/x )
et apres l'encadrement tu peu eviter tg est tu trouvera
pi/4 - artan1/x = artanx - pi/4
===> artanx +artan1/x =pi /2 !