foction réciproque !!

soit f la fonction définie par f(x) = x - sinx
1) résoudre l'equation f(x) = f(-1)(x) [ f(-1) fonction réciproque de f ]
2) montrer qu'il existe une unique fonction g définie sur IR telle que :
pr tt x de IR : g(x) - sin(g(x)) = 1/rac(1+x²)
3) montrer que g est pair et que limg(x) (qd x tend vers +00) = 0
4) à l'aide des variations de f donner le TV de g
5) montrer que g est continue sur IR

adam a écrit:

soit f la fonction définie par f(x) = x - sinx
1) résoudre l'equation f(x) = f(-1)(x) [ f(-1) fonction réciproque de f ]
2) montrer qu'il existe une unique fonction g définie sur IR telle que :
pr tt x de IR : g(x) - sin(g(x)) = 1/rac(1+x²)
3) montrer que g est pair et que limg(x) (qd x tend vers +00) = 0
4) à l'aide des variations de f donner le TV de g
5) montrer que g est continue sur IR

BJR adam !!
Ton exo est très INTERESSANT pour les Terminales !!!!!
J'en lance le début d'un corrigé en espérant que les BAC vont se manifester .....
En fait c'est la question 0) que je résouds !!!!
La fonction f est définie et continue de IR dans IR comme somme de 2 fonctions jouissant des mêmes propriétés .
Elle est dérivable sur IR , pour les mêmes raisons , et on a :
f'(x)=1-cosx pour tout x dans IR , cette dérivée est positive sur IR.
Par conséquent , f est une BIJECTION STRICTEMENT CROISSANTE de IR sur IR ; le Th. du Cours garantit alors qu'il existe une application h qui est aussi une BIJECTION STRICTEMENT CROISSANTE de IR sur IR , CONTINUE comme f et qui vérifie :
a/ foh=hof=Id sur IR ,
b/ {x,y dans IR ; y=h(x)} <======> {x,y dans IR ; x=y-siny}
REMARQUES
1/ h est souvent notée f(-1) ou f^(-1) s'appelle l'application réciproque de f ; ICI , ON NE SAIT PAS EXPLICITER h c'est à dire , on ne sait pas " tirer y en fonction de x" à partir de la relation x=y-siny !!!!
2/ A noter aussi : le graphe Cf de f et celui Ch de h=f^(-1) sont symétriques par rapport à la 1ère Bissectrice d'équation y=x .
Allez-y les BAC !!!
C'est à Vous !!!
A+ LHASSANE

bjr tt le monde
1/f et f(-1) sont symetriques par rapport a x=ydonc tt point de rencontre entre f et f(-1) est en fait un point de rencontr entre f et x=y donc f(x)=f(-1)(x) <==> f(x)=x donc sinx=0 donc x=kpi
2/ montrer qu'il existe une unique fonction g définie sur IR telle que :
pr tt x de IR : g(x) - sin(g(x)) = 1/rac(1+x²)
pour montrer que cette fonction existe il suffit de fefinir pour tt x un unique y realisant la relation
on pose a=1/rac(1+x²) puisque f est bijective, il existe un unique y pour lequel f(y)=a donc l'ensemble de ces y definit une fonction g(x) qui realise la condition du pb
3/f(g(x))=f(g(-x)) ==> g(x)=g(-x) puisque f est injective
lim(1/rac(1+x²))=lim(g(x)-sin(g(x)))=limg(x)-lim(sing(x))=limg(x)-sin(limg(x)) (continuite de sinus)
on a lim1/rac(1+x²)=0 alors
limg(x)=sin(lim(g(x))
puisque sin£(-1;1) alors limg(x) est finie et est la sol de l'equation sin(x)=x qui admet une seule soluce:0
donc limg(x)=0
4/ variations de g
soit x et y deux elements de R tels que x>y
donx 1/rac(1+y²)>1/rac(1+x²)
donc f(g(y))>f(g(x))
g(y)>g(x) (puisque f est croissante)
d'ou g est dcroissante
5/continuite de g
pour des valeurs finies de x g(x) prend des valeurs finies
supposons que g et discontinue
on pose g(xo+)=l et g(xo-)=l'
on a l=sin(l)+1/rac(1+xo²) et l'=sin(l')+1/rac(1+xo²)
l-l'=sin(l)-sin(l')
f(l)=f(l')
==>l=l'
on a g(xo+)<g(xo)<(xo-) (g decroissante)
==> g(xo+)=g(xo-)=g(x)
donc g est continue

BJR Wiles !!
Ce que tu as fait là, cela s'appelle de l'excellent JOB !!!
Quoique tu aurais pu raccourcir tes réponses si tu avais manipulé un peu plus souvent la fonction f^(-1) réciproque de f . En effet et par exemple , la relation :
g(x) - sin(g(x)) = 1/rac(1+x²) pour tout x dans IR
s'écrit fog(x) = 1/rac(1+x²) soit , en appliquant f^(-1) de chaque coté : g(x)=f^(-1) {1/rac(1+x²) } .
Ainsi tu as toutes les propriétés de g disponibles .
Et ou sont donc les autres BAC ????
Et qu'en pense adam ??
A+ LHASSANE

pour la 2ème question, il suffit de remarquer que g(x)=f^(-1)(1/rac(x²+1)) vérifie l'equation, et f bijective donc c la seule qui existe !!

adam a écrit:

pour la 2ème question, il suffit de remarquer que g(x)=f^(-1)(1/rac(x²+1)) vérifie l'equation, et f bijective donc c la seule qui existe !!

Oui , cela est vrai !!!
En outre , si on note h la fonction de IR dans IR suivante
x-------------------------------------> h(x) =1/rac(x²+1)
On a g=f^(-1)oh
et du fait que f^(-1) est une BIJECTION CONTINUE STRICTEMENT CROISSANTE de IR dans IR alors :
Toute propriété de h est transférée à g .
A+ et encore Bravo à Wiles , seul BAC à avoir répondu !!
Oeil_de_Lynx