bon excercice

Démontre que V(21) n'appartient pas à Q

mohamed a écrit:

Démontre que V(21) n'appartient pas à Q

tjrs la meme idéé , cherche ici un topic posté par sami

wé voilà le lien https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/aide-t5395.htm

C'est un peu DIFFERENT ici car :
rac(21)=rac3 . rac7
On sait que ni rac3 , ni rac7 ne sont rationnels ( même principe 3 et 7 sont premiers ) ; qu'en est-il alors de rac21 ??????
A+ LHASSANE

21=p²/q² ==> p²=21q² ==> p² est divisable paaar 21 mé est-ce que p est divisable par 21 ossssi ( pr 2 ,3,5 cé evident mé ici ona besoin d'une démo)

l'idéé d'Euclide ne marche pas ici je crois , ben je vs propose ceci:

21=p²/q²

==> p²=21q²

mé PPCM(p²,q²)= p²q² car PGCD(p,q)=1

alors p²= kPPCM(p²,q²) et 21q²=kPPCM(p²,q²) , sa marche ??!! editt : une erreur trop stupidde

ben ici c'est différent d'autres cas on doit utiliser une autre méthode ! j'ai passé Cet excercice au contrôl !!

non,
prend par exemple rac(2) * 1/rac(2)

neutrino a écrit:

21=p²/q² ==> p²=21q² ==> p² est divisable paaar 21 mé est-ce que p est divisable par 21 ossssi ( pr 2 ,3,5 cé evident mé ici ona besoin d'une démo)

BSR neutrino !!
Je te réponds donc directement ici !!
Tu écris p^2=21q^2 =3.(7q^2)=7(3q^2)
De cette manière , tu pourras conclure que :
3 divise p^2 et 3 étant PREMIER alors 3 divise p
PREUVE : supposons 3|p^2 alors
si 3 ne divisait pas p alors 3 serait premier avec p ; le Théorème de GAUSS exigerait que 3 divise p CE QUI EST ABSURDE
conclusion : 3 divise bien p
De la même manière 7 divise aussi p
Comme 3 et 7 sont premiers entre eux alors 21=3.7 divise aussi p .

J'ai utilisé ici deux résultats d'arithmétiques :
1) Th. GAUSS : a premier a|bc alors a|b OU a|c
2) Si p et q sont premiers entre eux et si p|a ET q|a alors pq|a
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

neutrino a écrit:

21=p²/q² ==> p²=21q² ==> p² est divisable paaar 21 mé est-ce que p est divisable par 21 ossssi ( pr 2 ,3,5 cé evident mé ici ona besoin d'une démo)

BSR neutrino !!
Je te réponds donc directement ici !!
Tu écris p^2=21q^2 =3.(7q^2)=7(3q^2)
De cette manière , tu pourras conclure que :
3 divise p^2 et 3 étant PREMIER alors 3 divise p
PREUVE : supposons 3|p^2 alors
si 3 ne divisait pas p alors 3 serait premier avec p ; le Théorème de GAUSS exigerait que 3 divise p CE QUI EST ABSURDE
conclusion : 3 divise bien p
De la même manière 7 divise aussi p
Comme 3 et 7 sont premiers entre eux alors 21=3.7 divise aussi p .

J'ai utilisé ici deux résultats d'arithmétiques :
1) Th. GAUSS : a premier a|bc alors a|b OU a|c
2) Si p et q sont premiers entre eux et si p|a ET q|a alors pq|a
A+ LHASSANE

est c kon pe travailler avec le PPCM ??

Pouquoi pas neutrino !!
A partir du moment ou tu as prouvé que
3|p et 7|p alors il est évident que p multiple commun de 3 et 7 est alors multiple de PPCM(3;7)=21
car PGCD(3;7)=1 { On a PGCD(a;b).PPCM(a;b)=ab }
Tu fais pareil pour q , donc 21 divise à la fois p et q et de là p et q ne sont plus premiers entre eux !!!!!
Ce qui terminera la Démo !!
A+ LHASSANE

Bon voilà ma réponse et n’hésitez pas à montrer des fautes si j’en ai :
On suppose que V21 est irrationnel donc V21=a/b tant que a^b=1
Si a=2k / k appartient à N
On 21=a²/b² donc b est pair et cela est impossible car a^b=1
Si a=2k+1 donc on va trouver que b est impair aussi
Donc a=2k+1 et b=2f+1
a²=21b² <----> (2k+1)²=21(2f+1)²
cela veut dire 4k²+4k+1=21*4f ² +21*4f + 21
4(k²+k+1/4)=4(21f ²+21f+21/4)
k²+k-21(f² + f)=5
k(k+1) – 21f(f+1)=5

et cela est impossible car la soustraction de deux nombres pairs est un nombre pair 5#2k
donc V21 est n appartient pas