une suite convergente

Soit f une fonction continue de [ 0,1] dans [ 0,1]
Soit (x_n) une suite définie par son premier terme x_0 et la relation de récurrence :
Montrer que la suite (x_n) converge vers un point fixe de f .

Il est claire que la suite (x_n) est dans [0,1].
(n+1)x_(n+1)=nx_n+f(x_n) ( La suite (nx_n) est croissante positive.)
x_(n+1)-x_n= [f(x_n)-x_(n+1)]/n ==> lim (x_(n+1)-x_n)=0

Comme (x_n) est bornée, elle admet une valeur d'adhérence x.
x=lim x_phi(n), avec phi:IN-->IN strictement croissante.
On a x_(phi(n)+1)= (x_(phi(n)+1)-x_phi(n))+x_pji(n) ==> x=lim x_(phi(n)+1)
Par recurrence pour tout k, x=lim x_(phi(n)+k)
Donc x=lim x_n==> f(x)=lim f(x_n) ==> somme de Cesaro x_(n+1) -->f(x) et
x_(n+1) -->x Donc f(x)=x