Suite convergente ??!

soit (x_n) la suite défine par :
x_(n+1)=x_n - 4*s*(x_n)^3+8*s où x_0=1 .
comment il faut choisir s pour assurer la convergence de cette suite ?

Nea® a écrit:

soit (x_n) la suite défine par :
x_(n+1)=x_n - 4*s*(x_n)^3+8*s où x_0=1 .
comment il faut choisir s pour assurer la convergence de cette suite ?

BJR Nea !!

La suite que tu proposes est une suite RECURRENTE de la forme :
x(n+1)=f(xn) pour n>=1 et xo=1 donné ; la fonction f qui intervient est celle-ci : t ------> f(t)=-4.s.t^3 + t + 8.s
avec s paramètre-utilisateur !!!
Nous savons tous que dans ces circonstances , il faut s'assurer :

1) De l'existence d'un intervalle I de IR contenant la valeur initiale xo=1 et tel que f(I) inclus dans I , de fâçon à garantir la CONSTRUCTIBILITE de la suite (xn)n
2) De l'existence pour f de point (s) fixe (s) car si la suite (xn)n CONVERGE , sa limite éventuelle L est un POINT FIXE de f .

Voilà du beau travail à réaliser par un ou des choix appropriés du paramère s .... Je repasserais le cas échéant !!

Portes-Toi Bien !! LHASSANE

je crois que pas que ça va donner grand chose ....
une petite idée : si (x_n) converge,alors elle va converger surement vers (2)^(1/3).

BJR Nea !!

Les points fixes de f satisfont à l'équation f(u)=u , u dans IR .
Donc 8.s-4.s.u^3=0 soit 4.s.{2-u^3}=0
D'ou effectivement DEUX situations :

1) s=0 qui conduit à la suite CONSTANTE (un=1)n ;
2) s<>0 et u=2^(1/3)
Dans cette deuxième éventualité s<>0 , il faudra INSTALLER les outils ..... et confirmer la CONVERGENCE de la suite récurrente !!

LHASSANE

Nea® a écrit:

je crois que pas que ça va donner grand chose ....
une petite idée : si (x_n) converge,alors elle va converger surement vers (2)^(1/3).

Re-BJR Nea !!

Je voulais rajouter autre chose !!
Une suite récurrente parfaitement bien définie n'est pas toujours convergente même si la fonction f qui la génère admet des points fixes !!
Prends par exemple :
f : IR* -------> IR définie par f(x)=1/x si x est dans IR*.
La suite récurrente (un)n définie par uo=a avec a dans ]0;1[ par exemple
Elle diverge car u(2n)=a et u(2n+1)=1/a pour tout entier n .
La fonction génératrice f admet 2 points fixes 1 et -1 .

LHASSANE

BSR ODL
oui !!! cette suite elle alterne entre a et 1/a bien que f admet des points fixes; ça on est d'accord comme jl'ai dis : "si (x_n) converge,alors elle va converger surement vers (2)^(1/3)."

cad : si la suite converge , elle va surment converger vers le points fixe de f.

1<2^(1/3)<2 je vais donc prendre l'intervalle [1,2] pour l'étude :
|f(x)-f(y)|<|x-y|/24 d'ou le résultat ...

BJR Nea !!

J'ai tout à fait compris que tu as PARFAITEMENT compris !!
Je reprends donc ton idée .....
Le point fixe UNIQUE de l'application génératrice f
t ------> f(t)=-4.s.t^3 + t + 8.s avec s paramètre-utilisateur
c'est bien L =2^(1/3)
Tu prends pour intervalle I celui-ci I=[1;2] , c'est OK !!
Il faudra vérifier que :
1) f applique bien I dans I ...
2) on a par simple calcul :
f(x)-f(y)=(x-y) + 4.s.(y^3-x^3)
que tu pourras écrire
(x-y).{1 + 4.s.(x.y-x^2-y^2)}
puis |f(x)-f(y)|=|x-y|.|1 + 4.s.(x.y-x^2-y^2)|

Vois-tu ! Ce n'est pas si simple !!
Choisir aussi s ? pour avoir ( ????? ) la (1/24)_Lipschitzianité de f sur I .......

Là , je t'ai exposé la difficulté ...... Je reviendrais plus tard !!

LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

BJR Nea !!

J'ai tout à fait compris que tu as PARFAITEMENT compris !!
Je reprends donc ton idée .....
Le point fixe UNIQUE de l'application génératrice f
t ------> f(t)=-4.s.t^3 + t + 8.s avec s paramètre-utilisateur
c'est bien L =2^(1/3)
Tu prends pour intervalle I celui-ci I=[1;2] , c'est OK !!
Il faudra vérifier que :
1) f applique bien I dans I ...
2) on a par simple calcul :
f(x)-f(y)=(x-y) + 4.s.(y^3-x^3)
que tu pourras écrire
(x-y).{1 + 4.s.(x.y-x^2-y^2)}
puis |f(x)-f(y)|=|x-y|.|1 + 4.s.(x.y-x^2-y^2)|

Vois-tu ! Ce n'est pas si simple !!
Choisir aussi s ? pour avoir ( ????? ) la (1/24)_Lipschitzianité de f sur I .......

Là , je t'ai exposé la difficulté ...... Je reviendrais plus tard !!

LHASSANE

BJR ODL,

f([1,2]) c [1,2] pour tout 0<s<1/20.

Spoiler:

f est contractante pour tout 0<s<1/6.

Spoiler:

==> Un converge vers 2^(1/3) pour tout 0<s<1/20

BJR Nea !!

Really Good Job ... Rien à Rajouter !!!

LHASSANE