problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )

le problème de cette semaine est une equation fonctionnelle proposée aux olympiades du maroc
problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) Semainen226im

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salut
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Sujet: Problème N°22 Mar 28 Mar 2006, 15:35

Bonjour
Solution postée
A+

Maître Nombre de messages : 86 Date d'inscription : 27/11/2005

bonjour ,

ça sera simpa si les administrateurs du site pose un probleme de la

semaine au niveau 1 ere .

merçi d'avance.

la reponse de Mr abdelbaki est juste . et on laisse encore un peu de temps aux autres pour chercher meme si la semaine est terminée
A+

Bonjour, êtes vous sûr que ce problème est de niveau terminale? Et combien de temps avons nous normalement aux olympiades pour un tel exercice?
Merci d'avance

cohlar a écrit:: Bonjour, êtes vous sûr que ce problème est de niveau terminale? Et combien de temps avons nous normalement aux olympiades pour un tel exercice?
Merci d'avance

salut et bienvenue parmi nous
un test d'olympiade contient 4 exercices doivent etre résoulu en 4 Heures

Maître Nombre de messages : 104 Date d'inscription : 16/01/2006

bonjour
f(n)=14

Maître Nombre de messages : 104 Date d'inscription : 16/01/2006

bonjour
j'aimerai avoir la solution de ce pb
merci

Maître Nombre de messages : 104 Date d'inscription : 16/01/2006

quand on aura la solution de ce pb?

mt2sr a écrit:: quand on aura la solution de ce pb?

voici la solution proposée par Abdelbaki
Bonjour

Pour n>0 , f(n)>1
f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-168
f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)f(n+4)-168
==> f(n+2)-f(n)=f(n+3)(f(n+4)-f(n+2))

On pose a(n)=|f(2n+2)-f(2n)| et b(n)=|f(2n+1)-f(2n-1)| pour tout n>0.

On a alors 2a(n+1)=< a(n) (*). Donc lim a(n)=0
Mais, la suite (a(n)) est à valeurs entieres elle est alors stationnaire.
D'après (*) la constante ne peut être que nulle.
Donc a(n)=0 à partir d'un certain entier n_0.
Donc : f(2n)= f(2n-2))=...=f(2n_0+2))=f(2n_0)=a pour n>=n_0

De la même façon il existe n_1 > 1 tel que b(n)=0.
Donc f(2n+1)=f(2n-1)=...=f(2n_1+3)=f(2n_1+1)=b pour n>=n_1

si n>max(n_0,n_1),
f(2n)+f(2n+1)=f(2n+2)f(2n+3)-168
a+b=ab-168 et a,b entiers >1.
(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=13²
===> (a=b=14) ou (a=2 et b=170) ou (a=170 et b=2)

Si a=b=14, pour n tel que f(n+1)=f(n+2)=f(n+3)=14
on a f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-168
alors f(n)= 14²-14-168=14
On refait la même chose pour n-1, on trouve f(n-1)=14
ainsi de suite on a donc f(n)=14 pour tout n>0.

Si a=2 et b=170, pour n tel f(2n+2)=2 et f(2n+1)=f(2n+3)=170
f(2n)+170=340-168=172 ==> f(2n)=2
f(2n-1)+2=340-168=172 ==> f(2n-1)=170
ainsi de suite on aura:
f(2n)=2 et f(2n-1)=170 pour tout n>0.

Si a=170 et b=2, c'est le même cas ci dessus en échangeant a et b.
Donc f(2n-1)=2 et f(2n)=170 pour tout n>0.

A+

Sujet: Re: problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )

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