Ensemble de Mandelbrot

On définit par récurrence la suite de polynomes (Pn) de C[X] par: P0=X,Pn+1=(Pn)²+X
Mn={z/|Pn(z)|=<2} et M=intersection(Mn)
(*)Montrer que (Mn) est une suite décroissante de compacts connexes non vides.
(*)En déduire que M est un compact connexe non vide de C.

Bonjour Abdelali

1) pour toutn Pn(0)=0, donc 0€Mn .

2) Si |Pn(z)|>2, alors |Pn(z)|>2+eps , avec eps>0.
si |Pn(z)|>|z|, alors |P(n+1)(z)|>=|Pn(z)|²-|z|>(1+eps)|Pn(z)|>2+eps.
si |Pn(z)|=<|z|, alors |z|>2+eps,
et |z²+z|>=|z|²-|z|=|z|(|z|-1)
donc |P1(z)|>(1+eps)|P0(z)| >2+eps
par recurrence |P(n+1)(z)|>=|Pn(z)|²-|z|>(1+eps)|Pn(z)|>2+eps
La suite (Mn) est donc décroissante pour l'inclusion.
3) M0 est le disque de centre 0 et de rayon 2. ( noté D(2) ). Donc d'près 1) et 2), Mn est un compact non vide ( car fermé et borné de C)

4) Il est bien connu que l'intersection d'une suite décroissante de compacts et connexes non vides est un compact connexe non vide.
Il reste à montrer que Mn est connexe pour tout n.

5) M0=D(2) donc convexe. M1=P1^(-1)(D(2)) et P1(z)=z²+z holomorphe de degré 2 alors M1 est connexe.
Par récurrence Mn est connexe pour tout n


A+

Bonsoir abdelbaki;
Je n'ai pas compris la 5):
Est ce que l'image réciproque d'un connexe (ou même convexe) par une fonction holomorphe (de degré 2) est nécéssairement connexe ?
Amicalement elhor.

Bonjour abdelali
L'image réciproque d'un connexe n'est pas toujours connexe. Mais, ici oui.
En général, si f est holomorphe de U dans V , de degré deux. Alors f admet deux fonctions réciproques g et h. g de f(U) sur U+ et h de f(U) sur U- où U+ et U- sont deux ouverts disjoints de U dont la réunion des adhérences est U leur frontieres communes est l'ensemble des points de ramifications . Donc si f est surjective et V=f(U) est connexe on a alors
g(V)=U+ et h( V)=U- sont connexes disjoints mais frontières se rencontrent donc U qui est la réunion des adhérences ( dans U) de U+ et U- est connexe.

Grooso modo: on construit a partir de U deux sous variétés on les recolle aux points cummuns ( points de ramificatons) on obtient une surface appelée surface de Riemann)

J'espère que j'ai été clair.

A+

Merci abdelbaki je vais y réfléchir

Citation :

Abdelbaki à écrit :

5) M0=D(2) donc convexe. M1=P1^(-1)(D(2)) et P1(z)=z²+z holomorphe de degré 2 alors M1 est connexe.
Par récurrence Mn est connexe pour tout n

On a Mn=Pn^(-1)(D(2)) pour tout n mais on n'a pas Pn holomorphe de degré 2 pour tout n

elhor_abdelali a écrit:

Citation :

Abdelbaki à écrit :

5) M0=D(2) donc convexe. M1=P1^(-1)(D(2)) et P1(z)=z²+z holomorphe de degré 2 alors M1 est connexe.
Par récurrence Mn est connexe pour tout n

On a Mn=Pn^(-1)(D(2)) pour tout n mais on n'a pas Pn holomorphe de degré 2 pour tout n

On a Mn=P^(-1)(Mn-1) pour tout n . P holomorphe de degré 2 et Mn-1 connexe ==> Mn connexe

Où P(z)=z²+z

Je ne crois pas
car z£P^(-1)(M1) <=> P(z)£M1 <=> |P(P(z))| =< 2 <=> |(z²+z)²+z²+z| =< 2
alors que z£M2 <=> |P²(z)+z| =< 2 <=> |(z²+z)²+z| =< 2 (sauf erreur de ma part bien entendu)

et on voit bien qu'on a -2£M2 mais on n'a pas -2£P^(-1)(M1)
ce qui veut dire qu'on n'a pas M2 = P^(-1)(M1) (sauf erreur)

z€M_2 <==> |P_2(z)|=<2
Mais P_2(z)= P_1(z)²+z =(z²+z)²+z=P_1(P(z)) avec P de degré 2 ( P(z) n'est pas forcément P_1)

P(z)²+P(z)=(z²+z)²+z ==> (P(z)+1/2)²=(z²+z)²+z+1/4 ==> ....