Classique!
1) il est claire que k=intersection des k_n est compact ( car fermé dans un compact)
si k =vide ==> k_0=réunion des (E\k_n) pour n>0. ==> on peut extraire un recouvrement fini
==> k_0=(réunion de k=1 à N) des (E\k_n) = E\k_N ( (k_n ) décroissante
==> k_N=k_0 n k_N=vide absurde.
2) même raisonnement que 1) avec E=O
3) si k=F_1 u F_2 où les F_i sont des fermées disjoints de k (donc de E). il existent deux ouverts disjoints O_1 et O_2 tq
F_1 c O_1 et F_2c O_2.
D'prés 2) il existe m tq k_m c O_1uO_2
or k_m est connexe ==>k_m c O_1 ou k_m c O_2
==> F_1=vide ou F_2=vide
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وقل ربي زد ني علما