- Alaoui.Omar a écrit:
- Bonjour,
Trouver tout les entiers differents a 0 tel que:
(a-1)(b-1)(c-1)=2abc
j'espère que quelqu'un trouvera plus court !!!!!
D'abord, il est clair que si a,b et c sont >1, l'équation n'a pas de solution. Il faut donc que "entiers" désigne des entiers relatifs et que 1, 2 ou 3 des nombres a,b ou c soient négatifs. Donc trois cas :
Cas 1: a<0, b et c >1.
En écrivant a=-a' avec a'>0, il vient (a'+1)(b-1)(c-1)=2a'bc.
a' divise la partie droite, donc la partie gauche, mais est premier avec (a'+1) donc divise (b-1)(c-1). On peut donc écrire :
a'=uw (avec uw>0)
b-1=uv (avec uv>0)
c-1=wt (avec wt>0)
On a alors (uw+1)vt=2(uv+1)(wt+1) ou encore :
vt(uw-1)+2wt+2uv+2=0, ce qui est impossible.
pas de solutions avec le cas 1
Cas 2: a<0, b<0 et c>1.
En écrivant a=-a' et b=-b', il vient (a'+1)(b'+1)(c-1)=2a'b'c
a' divise la partie droite, donc la partie gauche, mais est premier avec (a'+1) donc divise (b'+1)(c-1). On peut donc écrire :
a'=uw (avec uw>0)
b'+1=uv (avec uv>1)
c-1=wt (avec wt>0)
On a alors (uw+1)vt=2(uv-1)(wt+1) ou encore :
t[v-w(uv-2)]=2uv-2
uv=2 ==> vt=2 ==> (u,v,w,t)=(1,2,w,1) ou (2,1,w,2) ==> (a',b',c)=(w,1,w+1) ou (2w,1,2w+1)
uv=3 ==> t(v-w)=4 ==> (u,v,w,t)=(1,3,1,2) ou (1,3,2,4) ==> (a',b',c)=(1,2,3) ou (2,2,9)
uv=n>3 ==> t(v-w(n-2))=2n-2 ==> v>n-2 (puisque w>=1) ==> v=n ==> w=1 ==> (u,v,w,t)=(1,n,1,n-1) ==> (a',b',c)=(1,n-1,n)
Donc ce cas 2 conduit aux solutions (a,b,c) suivantes :
(-n,-1,n+1) Pour tout n>0
(-2,-2,9)
(-1,1-n,n) Pour tout n>1
Cas 3: a<0, b<0 et c<01.
En écrivant a=-a', b=-b' et c=-c', il vient (a'+1)(b'+1)(c'+1)=2a'b'c'
a' divise la partie droite, donc la partie gauche, mais est premier avec (a'+1) donc divise (b'+1)(c'+1). On peut donc écrire :
a'=uw (avec uw>0)
b'+1=uv (avec uv>1)
c'+1=wt (avec wt>1)
On a alors (uw+1)vt=2(uv-1)(wt-1) ou encore :
t[w(uv-2)-v]=2uv-2
uv=2 ==> -vt=2 : impossible
uv=3 ==> t(w-v)=4 ==> (u,v,w,t)=(1,3,4,4),(1,3,5,2),(1,3,7,1),(3,1,2,4),(3,1,3,2),(3,1,5,1), ce qui donne pour (a',b',c') : (4,2,15),(5,2,9),(7,2,6), plus les permutations
uv>=4, t[w(uv-2)-v]=2uv-2 peut s'écrire t[(w-2)(uv-2)+2uv-v-4]=2(uv-2)+2
On a alors 2uv-v-4=uv+v(u-1)-4>=2 et il nous faut donc absolument t(w-2)<=2, ce qui implique 5 sous-cas pour (w,t) : (1,t),(2,t),(3,1),(3,2),(4,1)
Sous-cas 1 : uv>=4 et w=1, t>1 (puisque wt>1)
t[w(uv-2)-v]=2uv-2 devient t[uv-2-v]=2uv-2
Donc t divise 2uv-2 et donc 2uv-2=kt et uv-2-v=k, et donc 2v=k(t-2)-2, avec kt pair. En reportant cela dans 2uv-2=kt, on a :
u(k(t-2)-2)-2=kt, soit u(k(t-2)-2)=kt+2. Donc k(t-2)-2 divise kt+2, donc 2k+4 et en particulier k(t-2)-2<=2k+4, ce qui nous donne :
Sous-cas 1.1 : t=1 et u(k(t-2)-2)=kt+2 implique -u(k+2)=k+2, ce qui est impossible
Sous-cas 1.2 : t=2 et u(k(t-2)-2)=kt+2 implique -2u=2k+2, ce qui est impossible
Sous-cas 1.3 : t=3 et k(t-2)-2 divise 2k+4 implique k-2 divise 2k+4 et donc k=3,4,6,10
k=3 et t=3 implique 2v=k(t-2)-2=1, impossible
k=4 et t=3 implique 2v=k(t-2)-2=2, et v=1, puis u(k(t-2)-2)=kt+2 donne u=7 et donc la solution (u,v,w,t)=(7,1,1,3) et (a',b',c')=(7,6,2)
k=6 et t=3 implique 2v=k(t-2)-2=4, et v=2, puis u(k(t-2)-2)=kt+2 donne u=5 et donc la solution (u,v,w,t)=(5,2,1,3) et (a',b',c')=(5,9,2)
k=10 et t=3 implique 2v=k(t-2)-2=8, et v=4, puis u(k(t-2)-2)=kt+2 donne u=4 et donc la solution (u,v,w,t)=(4,4,1,3) et (a',b',c')=(4,15,2)
Sous-cas 1.4 : t=4 et k(t-2)-2 divise 2k+4 implique k-1 divise k+2 et donc k=2,4
k=2 et t=4 implique 2v=k(t-2)-2=2, et v=1, puis u(k(t-2)-2)=kt+2 donne u=5 et donc la solution (u,v,w,t)=(5,1,1,4) et (a',b',c')=(5,4,3)
k=4 et t=4 implique 2v=k(t-2)-2=6, et v=3, puis u(k(t-2)-2)=kt+2 donne u=3 et donc la solution (u,v,w,t)=(3,3,1,4) et (a',b',c')=(3,8,3)
Sous-cas 1.5 : t=5 et k(t-2)-2 divise 2k+4 implique 3k-2 divise 2k+4 et donc k=1,2,6
k=1 et t=5 implique 2v=k(t-2)-2=1, impossible
k=2 et t=5 implique 2v=k(t-2)-2=4, et v=2, puis u(k(t-2)-2)=kt+2 donne u=3 et donc la solution (u,v,w,t)=(3,2,1,5) et (a',b',c')=(3,5,4)
k=6 et t=5 implique 2v=k(t-2)-2=16, et v=8, puis u(k(t-2)-2)=kt+2 donne u=2 et donc la solution (u,v,w,t)=(2,8,1,5) et (a',b',c')=(2,15,4)
Sous-cas 1.6 : t>=6 et k(t-2)-2 divise 2k+4 implique 4k-2<=k(t-2)-2<=2k+4 et donc k=1,2,3
k=1 implique, puisque k(t-2)-2 divise 2k+4, que t-4 divise 6, ce qui est impossible, puisque t>=6
k=2 implique, puisque k(t-2)-2 divise 2k+4, que 2t-6 divise 8, ce qui, puisque t>=6, laisse comme seul choix t=7, alors :
k=2 et t=7 implique 2v=k(t-2)-2=8, et v=4, puis u(k(t-2)-2)=kt+2 donne u=2 et donc la solution (u,v,w,t)=(2,4,1,7) et (a',b',c')=(2,7,6)
k=3 implique, puisque k(t-2)-2 divise 2k+4, que 3t-8 divise 10, ce qui, puisque t>=6, laisse comme seul choix t=6, alors :
k=3 et t=6 implique 2v=k(t-2)-2=10, et v=5, puis u(k(t-2)-2)=kt+2 donne u=2 et donc la solution (u,v,w,t)=(2,5,1,6) et (a',b',c')=(2,9,5)
Sous-cas 2 : uv>=4 et w=2, t>0
t[w(uv-2)-v]=2uv-2 devient t[2uv-4-v]=2uv-2
Donc t divise 2uv-2 et donc 2uv-2=kt et 2uv-4-v=k, ou encore kt-2-v=k et donc v=k(t-1)-2. En reportant cela dans 2uv-2=kt, on a :
2u(k(t-1)-2)-2=kt, soit 2u(k(t-1)-2)=kt+2. Donc k(t-1)-2 divise kt+2, donc k+4 et en particulier k(t-1)-2<=k+4, ce qui nous donne :
Sous-cas 2.1 : t=1, et 2u(k(t-1)-2)=kt+2 implique -4u=k+2, ce qui est impossible
Sous-cas 2.2 : t=2, et k(t-1)-2 divise k+4 implique k-2 divise k+4 et donc k=3,4,5,8 (les cas k<3 s'éliminant en remontant à l'équation 2u(k(t-1)-2)=kt+2)
k=3 et t=2 implique v=k(t-1)-2=1 et 2u(k(t-1)-2)=kt+2 donne u=4 et donc la solution (u,v,w,t)=(4,1,2,2) et (a',b',c')=(8,3,3)
k=4 et t=2 implique v=k(t-1)-2=2 et 2u(k(t-1)-2)=kt+2 donne u=5/2 impossible
k=5 et t=2 implique v=k(t-1)-2=3 et 2u(k(t-1)-2)=kt+2 donne u=2 et donc la solution (u,v,w,t)=(2,3,2,2) et (a',b',c')=(4,5,3)
k=8 et t=2 implique v=k(t-1)-2=6 et 2u(k(t-1)-2)=kt+2 donne u=3/2 impossible
Sous-cas 2.3 : t=3, k(t-1)-2 divise k+4 implique 2k-2 divise k+4 et donc k=2 ou k=6
k=2 et t=3 implique v=k(t-1)-2=2 et 2u(k(t-1)-2)=kt+2 donne u=2 et donc la solution (u,v,w,t)=(2,2,2,3) et (a',b',c')=(4,3,5)
k=6 et t=3 implique v=k(t-1)-2=10 et 2u(k(t-1)-2)=kt+2 donne u=1 et donc la solution (u,v,w,t)=(1,10,2,3) et (a',b',c')=(2,9,5)
Sous-cas 2.4 : t=4 k(t-1)-2 divise k+4 implique 3k-2 divise k+4 et donc k=1 ou k=3
k=1 et t=4 implique v=k(t-1)-2=1 et 2u(k(t-1)-2)=kt+2 donne u=3. Cas à éliminer car on doit avoir uv>=4
k=3 et t=4 implique v=k(t-1)-2=7 et 2u(k(t-1)-2)=kt+2 donne u=1 et donc la solution (u,v,w,t)=(1,7,2,4) et (a',b',c')=(2,6,7)
Sous-cas 2.5 : t>=5 k(t-1)-2 divise k+4 implique k(t-1)<=k+6 et, puisque t>=5 4k<=k+6 et k=1 ou k=2
k=1 implique, puisque k(t-1)-2 divise k+4, que t+1 divise 5, ce qui est impossible puisque t>=5
k=2 implique, puisque k(t-1)-2 divise k+4, que 2t divise 6, ce qui est impossible puisque t>=5
Sous-cas 3 : uv>=4 et w=3, t=1
t[w(uv-2)-v]=2uv-2 devient uv=v+4, donc v divise 4, donc (u,v,w,t)=(5,1,3,1),(3,2,3,1),(2,4,3,1) et (a',b',c')=(15,4,2),(9,5,2),(6,7,2)
Sous-cas 4 : uv>=4 et w=3, t=2
t[w(uv-2)-v]=2uv-2 devient 2uv=v+5, donc v impair divise 6, donc (v=1 et u=3) ou (v=5 et u=1); Le premier cas est à éliminer puisqu'on veut uv>=4.
Il reste donc (u,v,w,t)=(1,5,3,2) et (a',b',c')=(3,4,5)
Sous-cas 5 : uv>=4 et w=4, t=1
t[w(uv-2)-v]=2uv-2 devient 2uv=v+6, donc v pair divise 6, donc v=2 et u=2 ==>(u,v,w,t)=(2,2,4,1) et (a',b',c')=(8,3,3)
Donc, ce cas 3 conduit aux solutions (a,b,c) suivantes :
(-2,-4,-15),(-2,-5,-9),(-2,-6,-7),(-3,-4,-5),(-3,-3,-8 ) aux permutations près
***********************************************
L'ensemble des solutions (a,b,c) est donc, aux permutations près :
(-1,-n,n+1) Pour tout n>0
(-2,-2,9)
(-2,-4,-15)
(-2,-5,-9)
(-2,-6,-7)
(-3,-4,-5)
(-3,-3,-8 )
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