L'injectivité d'une application ! ???

Bonsoir ,
f est une application de IR vers IR .
f : IR --------> IR
x i---> x / ( 1 + |x| )
Montrer que f est injective .
.................
.............
........
......
....
...
..
.

ALLEZZZ VITE !!!!!

slt
on prends a et b de IR tel que f(a)=f(b)
donc a/1+lal =b/1+lbl
premiere remarque c'est que 1+lal>0 ET 1+lbl > 0

donc soit a>0 et b >0 soit a<0 ET b<0

et dans les 2 cas tu trouveras f(a)=f(b)==>a=b CQFD

que veux tu dire par CQFD ?
et si ns avons a<0 et b>0 ????

Citation :

que veux tu dire par CQFD ?

CQFD : ce qu'il fallait demontrer

QED : QUOD ERAT DEMONSTRANDUM (Ce qui était à démontrer.)

Citation :

et si ns avons a<0 et b>0 ????

ce cas la est exclu puisque le denominateur des deux nombre est strictement superieur a 0 et que c'est 2 nombre sont egaux

on peut on conclure seul les 2 cas que j'ai cité sont valable

soit x x' de [0.+00[
f(x)=f(x') ' ==>x/2+x=x'/2+x'
==>x=x'
soit x.x' de ]-00.0]
f(x)=f(x')==>x/2-x=x'/2-x'
==>x=x'
f injective de [0.+00[ vers R et de ]-00.0] versR
donc f injectivede R versR
donc f est inejctive

oui colonel merci...
et pour elle c pas 1-x ? pk ?

L a écrit:

soit x x' de [0.+00[
f(x)=f(x') ' ==>x/2+x=x'/2+x'
==>x=x'
soit x.x' de ]-00.0]
f(x)=f(x')==>x/2-x=x'/2-x'
==>x=x'
f injective de [0.+00[ vers R et de ]-00.0] versR
donc f injectivede R versR
donc f est inejctive

BSR L !!!
Là tu fais une ERREUR que je ne peux pas laisser passer dans ton interet d'ailleurs !!
Tu dis f est injective de IR- dans IR
puis f injective de IR+ dans IR
tu recolles tout et tu déclares que f est INJECTIVE sur IR!!! C'EST FAUX
Prends la fonction g(x)=|x| alors la restriction de g à IR-est injective , la restriction de g à IR+ est aussi injective MAIS g n'est pas injective sur IR car PAIRE !!!!

Que se passe-t-il si tu prends x dans ]-oo,0] puis x' dans [0,+oo[ tu n'en dis pas un mot !!!!!!
En fait , ici la fonction f est IMPAIRE donc l'injectivité de f sur IR+ suffira !
A+ BOURBAKI

we t'as raison j'ai loupe ce truc ^^

et apres je dois dire commef impaire et injective surR+ donc injective sur R- donc sur Rc ca ?

on aa et b dans iR
on pose
f(a)=f(b)

a/(1+!a!)=b/(1+!b!) alors a et b on la meme ichara

a + a!b! = b + !b!a et a!b! = !b!a car a et b on la meme ichara alors
a=b alors....

d'ou t'as eu a et b ont le meme signe?

colonel a écrit:

Citation :

que veux tu dire par CQFD ?

CQFD : ce qu'il fallait demontrer

QED : QUOD ERAT DEMONSTRANDUM (Ce qui était à démontrer.)

Citation :

et si ns avons a<0 et b>0 ????

ce cas la est exclu puisque le denominateur des deux nombre est strictement superieur a 0 et que c'est 2 nombre sont egaux

on peut on conclure seul les 2 cas que j'ai cité sont valable

mais ces deux nombres ne sont pas égaux c leurs image qui le sont ... es ce que si le denominateur et positif cela impliquera que a et b n'aie pas des signes différents ...
et comment conclure ça de ces cas ?
si quelqu'un pourrai m'expliquer d'avantage , merci ...
cet exercice et présent sur les activités d'application de cette leçon du
manuel .

si quelqu'un pourrai m'expliquer d'avantage , merci ...

L j constater que a et b on le meme signe car 1+ !a! et 1 + !b! sont positif alors.......

et puisque a/(1+!a!) = b/(1+b) alors a et b on la meme icharra

non t(as di que a et b ont le meme signe,je lecrois pas

L a écrit:

non t(as di que a et b ont le meme signe,je lecrois pas

Dans l'exemple du Topic :
Si f(a)=f(b) alors ....... (a/b)=(1+|a|)/(1+|b|) est strictement POSITIF donc a/b l'est et cela justifie que a et b sont de MEME SIGNE !!!

Pour la chose que je t'ai dite , comme certains Profs exigent des Démos pour des propriétés non vues en Cours , autant pour Toi d'essayer de voir ce qui suit :
Soit f : IR--------->IR supposée :
IMPAIRE
et dont la restriction à IR+ est INJECTIVE
Est-ce que que f est INJECTIVE ???
A+ BOURBAKI
PS : il te reste UNE SEULE CHOSE à examiner :
x dans IR+ et x' dans IR-
Si f(x)=f(x') ========> x=x'

dans le cas de x de R+et x' de R- on n'a f(x)=f(x') que sit x=x'=0 donc pas pour tout les x et x' appartenants respectivemetn au deux intervalles
svp j'aiune question
f(x)=-f(-x)
f soit x et x' des elements de R-ona a
f(x)=f(x')==>f(-x)=f(-x') comme -x et -x' de R+ ou f est injective alors-x=-x=>x=x' dou f injective aussi sur R-
c correct ca ?
'

<<soit x et x' des elements de R-ona a
f(x)=f(x')==>f(-x)=f(-x') comme -x et -x' de R+ ou f est injective alors-x=-x=>x=x' dou f injective aussi sur R-
c correct ca ? >>

L'injectivité de f sur IR- se déduit de celle sur IR+ comme tu l'as fait !!! C'est JUSTE !!!

<<dans le cas de x de R+et x' de R- on n'a f(x)=f(x') que sit x=x'=0 donc pas pour tout les x et x' appartenants respectivemetn au deux intervalles >>

C'est INTUITIF ce que tu dis et cela résulte du fait que Cf est symétrique par rapport à l'origine (0,0) !!
Mais peux-tu etre + rigoureux ??
A+ BOURBAKI

est ce que ma demo est juste
a et b on le meme signe car a/(1+!a!) = b/(1+!b!) et 1+!a!) et 1+!b! on le meme signe moujabin alors/.....

mnt ok

Je reviens encore sur cette question !!!
Soit f la fonction définie sur IR à valeurs dans IR de la manière suivante :
f(x)=x-1 si x>0 ;
f(0)=0 et
f(x)=x+1 si x<0 .
On vérifie sans peine que f est IMPAIRE :
De plus f est injective sur IR+ et injective sur IR- mais f n'est PAS INJECTIVE car :
f(-1/2)=-1/2 + 1=1/2 f(3/2)=3/2 - 1=1/2 mais -1/2 <> 3/2
PAR CONSEQUENT LE RESULTAT que je vous ai annoncé précédemmnet est faux en général !!!
EN FAIT , pour que cela marche , il faut imposer que
f garde un signe constant sur IR+
à ce moment là ça marche . POURQUOI L ???
A+ BOURBAKI

non c'etait pas intuitif j'ai resolu l'equation

colonel tu conai po par hasard mr hainoun

x/1+x=x'/1-x'==>x-x'=xx'+x'x
x-x' positif xx'+x'x negatif donc les deux nombres sontnuls