Groupe engendré par "a"

Soit <a> un groupe d'ordre n . quel est alors l'ordre de <a²>

Si n est pair c'est n/2 sinon c'est n aussi.

ThSQ a écrit:

Si n est pair c'est n/2 sinon c'est n aussi.

une preuve SVP

e quelle loi defienie d'abord sur G²

si (G,.)groupe ac G={1,-1} l'orde de G² c'est 1 ??

merci

BJR devil13 !!
ICI il n'a jamais été question de GxG mais de l'élément a.a=a^2
dont on cherche l'ordre en tant qu'élément de G .
A+ BOURBAKI

BOURBAKI a écrit:

BJR devil13 !!
ICI il n'a jamais été question de GxG mais de l'élément a.a=a^2
dont on cherche l'ordre en tant qu'élément de G .
A+ BOURBAKI

ah ! d'acc ! dik l'ecriture <a> sa veut dire groupe engendré par un element ; cad tt x de G peut s'ecrire comme un itéré de a ; yak?? 7na on l'as pas vu f cours

Cé correct !!
<a> est le sous-groupe monogène de G engendré par a .
A+ BOURBAKI

thnks ; meme monogéne pas vu j vais chercher f wikipedia !

bonne nuit

Soit x=Ordre(a²) ==> (a²)^x=e ==> n divise 2x car ordre(a)=n.
Par ailleurs, x divise n ( Lagrange)
Il existent h,k entiers tels que:
2x=nh=xkh ==> hk=2 ==> (h=1 et k=2) ou (h=2 et k=1)

Si h=1 et k=2 , alors n=2x ( n pair ) et x=n/2
Si h=2 et k=1 , alors n=x

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit x=Ordre(a²) ==> (a²)^x=e ==> n divise 2x car ordre(a)=n.
Par ailleurs, x divise n ( Lagrange)
Il existent h,k entiers tels que:
2x=nh=xkh ==> hk=2 ==> (h=1 et k=2) ou (h=2 et k=1)

Si h=1 et k=2 , alors n=2x ( n pair ) et x=n/2
Si h=2 et k=1 , alors n=x

merci

jolie preuve abdelbaki merci